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分かりにくい三角関数(sin,cos)をシミュレーション/図解で理解![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(sin,cos)を解説していきます。三角関数にはcos/sin/tanの3つがありますが、この中でもcosとsinの関係はとても強いです。

今回はこのcos/sinとシミュレーション/図解で示したいと思います!
分かりにくい三角関数(sin,cos)をシミュレーション/図解で理解![数学入門]

三角関数は角度が入力値となる関数です!

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(sin,cos)を解説していきます。三角関数はもう一つtanがありますが、その解説は別ページで行う予定です。

三角関数は以下のような式で表します。

三角関数 cos

$$ \large{x = cos(θ) }$$

三角関数 sin

$$ \large{y = sin(θ) }$$

入力値であるθは角度を表します。角度はラジアンという単位もあるのですが、このページでは分かりやすいように360度表記で解説していきます。

cos,sinの定義は以下の通りです。長さ1で角度θの傾きを持つ直線を考えます。この時に、この直線先端の横軸の位置がcos、縦軸の位置をsinといいます。下図でいうならば、横の赤線の長さがcosで、縦の青線の長さがsinになります。

長さ1の直線は角度θを0~360度まで変えていくと、下図の半径1の円上を通っていきます。つまり、角度θによってcos,sinは-1~+1の間で値が変化していきます。

円の公式から、cosとsinの関係式が導ける

上記の通り、cosとsinはそれぞれ長さ1の単位円上のx,yの値と同値になります。ここで円の公式を考えます。円上の点(x,y)では

円の公式

$$ \large{ x^2 + y^2 = 半径^2 }$$

という式が成り立っています。今は半径=1なので\(x^2 + y^2 = 1\)ですね。今考えている円上ではx=cosθ,y=sinθなので上記式に代入すると、

三角関数cos/sinの公式

$$ \large{ cos(θ)^2 + sin(θ)^2 = 1 }$$

が導けます。これは常に成り立つ公式で、cosがわかればsinが、sinがわかればcosが自動的に求められることを意味しています!

シミュレーターで直感的に三角関数(cos,sin)を理解しよう!

上記のような説明の定義だけでは分かりにくいですよね。そこで、シミュレーターで実際に角度θを動かして、cos,sinの変化を確認できるようにしてみました!

シミュレーションの説明
  • 角度θを動かして、cos,sinの変化を確認してみましょう
  • 横軸赤線の値がcos縦青線の値がsinになります

 

角度θ
45

[関数]
横軸: \( {cos(θ) =} \) 0
縦軸: \( {sin(θ) =} \) 0

cos,sinの要点

要点1:cos,sinともにマイナスの値をとりうる

↓のようにcosとsinはマイナスの値をとることがあります。cos,sinともに正確な定義は赤線,青線の長さでなく半径1の先端の位置です。なので、cosは90~270度で、sinは180~360度でマイナス値となります。

要点2:半径1以外の円でも、x=半径*cos(θ),y=半径*sin(θ)で座標を計算できる

シミュレーターでは簡単のために円の半径(直線の長さ)=1となっていました。しかし、半径が1以外の円でも↓のように座標計算が可能です。

半径αの円のx,y

x = α * cos(θ)
y = α * sin(θ)

cosとsinを使うと、簡単に円上の点の位置を表すことが出来るんです!
 

POINT円上の座標はxはcos、yはsinをつかって表す事が出来る!

三角形と考えると、、、cos=横辺/斜辺,sin=縦辺/斜辺と考える事もできます!

上記の定義では、cos,sinを半径1の円の上で表しました。しかし、少し考え方を変えると、直角三角形の斜辺と横辺/縦辺の関係とも考える事ができます!

シミュレーションの説明
  • 角度θを動かして、cos,sinの変化を確認してみましょう
  • 上のシミュレーターと同様に斜辺の長さを1としています
  • 横の赤線がcos縦の青線がsinの値となります

 

角度θ
45

[関数]
横辺:\( {cos(θ) =} \) 0
縦辺:\( {sin(θ) =} \) 0

いかがでしょうか。実は表現が変わっただけで、上記の円のときと実質的には何も変わっていません。cosθ=直感三角形の横辺(斜辺と角θをなす横辺)、sinθ=直角三角形の縦辺(角θと接さない縦辺)と置き換えて考える事ができるんです。

また、今回の三角形は斜辺の長さ=1でしたが、それ以外の場合でも

cos/sinの定義

cosθ=「斜辺と角θをなす横辺」の長さ/斜辺の長さ
sinθ=「角θと接さない縦辺」の長さ/斜辺の長さ

として計算することが可能です。(三角形の形は変わらず相似なので)
 
逆にいうと、斜辺の長さと角度θが分かれば、

直角三角形の各辺の長さ

「斜辺と角θをなす横辺」の長さ=斜辺の長さ*cosθ
「角θと接さない縦辺」の長さ=斜辺の長さ*sinθ

と計算可能です。cos,sinを使うだけで、簡単に三角形の横縦の長さが計算可能になるんです!これが三角関数の便利な点です^^
 

POINTcos/sinを使えば、三角形の横辺と縦辺の長さを簡単に求められる!

まとめ

本記事では三角関数の基本であるcos,sinの定義を、シミュレーターを用いて解説しました。cos,sinを用いることで、円の上の点の位置を計算したり、三角形の横の長さや縦の長さを計算できます!こういった特徴から、物理の分野でcos,sinは多用されます。

上記のシミュレーターでこの定義のイメージを付けて頂けたらと思います。
 

「三角関数」まとめ

  • 円上のx,y座標はcos/sinを使って求められる
  • 同じ考え方で、三角形の縦辺/横辺の長さもcos/sinで簡単に求められる

 


 


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