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対数関数(log)の演算法則をシミュレーションで理解![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

前回記事で、対数関数(log)とは何かをシミュレーターを用いて説明しました。その中でも対数関数グラフの特徴や公式を説明しましたが、本記事ではそれに加えて、とても大事な対数関数の演算法則を説明していきます!

対数関数(log)をとると、掛け算だったものが足し算になったりします。パッと見では難しそうですが、意味を考えていけば十分に理解できる内容です!ここでもシミュレーターを用いて説明していきます!

対数関数の重要公式1:指数/対数の表記変換

指数/対数の表記変換

$$ \large{ a^y = x ⇔ y = log_{a} x }$$

これは前回記事で説明したとおり、これが定義みたいなものですね。

対数関数の重要公式2:掛け算の分解

掛け算の分解

$$ \large{ log_{a} (M \cdot N) = log_{a} M + log_{a} N }$$

コチラの記事で書いた通り、任意の正数は\( a^b \)というaを底にした指数形式で表すことができます。どんな正数もaの○乗という形で表記できるということです。そう考えた場合、MとNを

\( \normalsize{ M = a^m  則ち  m = log_{a} M }\)
\( \normalsize{ N = a^n  則ち  n = log_{a} N }\)

という表記にできるはず。こうした場合、M・Nは

\( M \cdot N = a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

と表記できます。つまり、aをm+n回かけたものなんですね。元の指数同士の足し算です!

そのため、上記式に対してlogをとると

\( log_{a} (M \cdot N) = log_{a} a^{m+n} = m + n \)\( = log_{a} M + log_{a} N \)

と変形できます。つまり、M・Nという乗算式のlogは、log M と log Nの足し算に分解できるということです。

対数関数の重要公式3:割り算の分解

割り算の分解

$$ \large{ log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M – log_{a} N }$$

こちらも上記の考え方と同じですね。割り算であっても\( \frac{M}{N} = M \cdot \frac{1}{N} \)と表現できるので、

\( log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M + log_{a} \frac{1}{N} \)\( = log_{a} M + log_{a} N^{-1} \)

と書けます。そして、\( log_{a} N = n \)とすれば、その逆数\( N^{-1} \)のlogは-nになります。-1乗すれば逆数になるからです。ですので、単純に

\( log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M + log_{a} N^{-1} \)\( = log_{a} M – log_{a} N \)

となるわけです。

対数関数の重要公式4:指数の扱い

指数の扱い

$$ \large{ log_{a} M^r = r \cdot log_{a} M }$$

これは上記の乗算の考え方を応用すれば簡単です。M^rはMをr回かけたものですから、公式2のように乗算を分解すると、

\( log_{a} M^r = r個のlog_{a} M = r \cdot log_{a} \)

のように表せます!

対数関数の重要公式5:底の変換

底の変換

$$ \large{log_{a} M = \frac{log_{b} M }{log_{b} a } }$$

これは底の変換と言われています。aが底だった式を、bが底の式に変換しているわけです。

\( \normalsize{ a = b^{A’}  則ち  A’ = log_{b} a }\)
\( \normalsize{ M = b^{M’}  則ち  M’ = log_{b} M }\)

とすると、\(log_{a} M \)は\(\frac{M’}{A’} \)と言えます。ならぜなら、bをA’回かけた数を、何乗すればbをM’回かけた数にできるか考えると、単純にその割り算になるからです。つまり、

\( \normalsize{ (b^{A’})^{\frac{M’}{A’}}=b^{M’} }\)

となるため、\(\frac{M’}{A’}\)が求めるべき数です。ですので、最終的に

\( log_{a} M = \frac{M’}{A’} = \frac{log_{b} M }{log_{b} a } \)

と変形できるわけです。

⇒ 底の数を何にするかの違いは、底同士の対数の逆数(\(\frac{1}{log_{b} a}\))倍になるだけの違いなんです。

底が変わったからって、関数グラフの形状が複雑に変化するわけではないです。関数グラフの形状は同じで、その倍率が違うだけなんですね!
 

POINT底の違いは何倍になるかの違いだけであり、グラフの形状は変わらない!

シミュレーションでM・Nのlogが足し算になることを理解しよう!

上記のように色々な法則を説明してきましたが、重要なのは乗算された数のlogをとると、logの足し算に分解できるという事です!この関係性をシミュレーションで理解しておきましょう!

M
2
N
2

↓計算結果

\( log_{2} M = \) 1
\( log_{2} N = \) 1
\( log_{2} M \cdot N = log_{2}\)4 = 2

 

まとめ

  • 対数内の掛け算はlogの足し算に、対数内の割り算はlogの引き算となる
  • log内の指数は、logの前に係数としてもってこれる
  • logの底の違いは何倍になるかの違いだけで、グラフ形状は変わらない

 
 


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