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2倍角の公式(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!
今回は2倍角の公式です。コチラは前回解説した加法定理の応用になります。

シミュレーターでその意味を理解しておきましょう!

2倍角の公式(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

2倍角の公式とは

2倍角の公式とは↓の3つの式のことを言います。角度θの2倍のcos/sin/tanを計算する公式です

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ = 1 – 2sin^2θ = 2cos^2θ – 1 $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2sinθcosθ $$ $$ \displaystyle tan2θ = \frac{2tanθ}{1 – tan^2θ} $$

これは加法定理を使うと簡単に導けます。

2倍角の公式の証明

cos/sin/tanの順に加法定理を使って証明していきます

cosの2倍角の公式の証明

↓の加法定理に対して

加法定理(足し算)

$$ \displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ $$

α=θ,β=θとして同じ値を代入すると↓のようになり、2倍角の公式がなりたつと言えます。

\(cos(θ + θ) = cosθcosθ – sinθsinθ\)
\(cos(2θ) = cos^2θ – sin^2θ\)

これを変形すると残りの二つの形式も証明できます

\(cos(2θ) = cos^2θ – sin^2θ\)
↓\(sin^2θ= 1 – cos^2θ 代入\)
\( = cos^2θ – 1 + cos^2θ\)
\( = 2cos^2θ – 1 \)
\(cos(2θ) = cos^2θ – sin^2θ\)
↓\(cos^2θ= 1 – sin^2θ 代入\)
\( = 1 – sin^2θ – sin^2θ\)
\( = 1 – 2sin^2θ \)

sinの2倍角の公式の証明

↓の加法定理に対して

加法定理(足し算)

$$ \displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ $$

α=θ,β=θとして同じ値を代入すると↓のようになり、2倍角の公式がなりたつと言えます。

\(sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ\)
\(sin(2θ) = 2cosθsinθ\)

tanの2倍角の公式の証明

↓の加法定理に対して

加法定理(足し算)

$$ tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 – tanαtanβ} $$

α=θ,β=θとして同じ値を代入すると↓のようになり、2倍角の公式がなりたつと言えます。

\( \displaystyle tan(θ + θ) = \frac{tanθ + tanθ}{1 – tanθtanθ}\)
\( \displaystyle tan(2θ) = \frac{2tanθ}{1 – tan^2θ} \)

シミュレーターで2倍角の公式が成り立つことを確認しよう!

2倍角の公式が成り立つことを確認してみましょう!

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2sinθcosθ $$ $$ \displaystyle tan2θ = \frac{2tanθ}{1 – tan^2θ} $$

シミュレーターの説明
  • ↓でθを指定すると2倍角の公式から2θの三角関数の値を計算します
  • θを青色、2θを赤色の角度で示しています
  • 2倍角の公式の計算結果が成り立つことを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
  • tan90,270は本来計算できないのですが、ここでは∞としてとりあえず算出しています
角度θ
60
[結果]
cos()==0.0
sin()==0.0
tan()==0.0


 

「2倍角の公式」まとめ

  • 加法定理にα=θ,β=θと同じ値を入れると2倍角の公式が導びける

 


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