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加法定理(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!
今回は加法定理です。加法定理は別記事で解説する「倍角の公式」や「複素数平面」でものすごく意味を持つ強力な定理です!

シミュレーターでその意味を理解しておきましょう!

加法定理(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

加法定理とは

加法定理とは↓の3つの式のことを言います。cos/sin/tanに対してαとβを足し算/引き算が、求められるんです!

加法定理

$$ \displaystyle cos(α \pm β) = cosαcosβ \mp sinαsinβ $$ $$ \displaystyle sin(α \pm β) = sinαcosβ \pm cosαsinβ $$ $$ \displaystyle tan(α \pm β) = \frac{tanα \pm tanβ}{1 \mp tanαtanβ} $$

なぜこれが成り立つのかを以後説明していきます!

加法定理の証明

加法定理の証明は↓のように4つのステップを踏みます。ただ、一番需要なのは「step1: cos(α- β)式の証明」で、あとはそれを各式に展開するだけです。

step1: cos(α- β)式の証明 (最重要)
step2: cos(α+β)式への展開
step3: sin式への展開
step4: tan式への展開

step1: cos(α- β)式の証明

今、↓のように単位円上に角度αと角度βの角があるとします。今回はこの間の角「α – β」に着目します。

そして、この「α – β」を↓のように0度の位置まで回転させる事を考えます。

この時、あたりまえですが↑のABとCDの長さは同じになります。両方とも「α – β」と角度は同じで、ただ回転させただけですから!
そして、この「AB=CD」をもとにすれば加法定理が求められるんです!

ABとCDをsin,cosを使って定式化すると↓のようになります。

\( AB^2 = (cosβ – cosα)^2 + (sinβ – sinα)^2 \)
\( = cos^2β + cos^2α -2cosβcosα + sin^2β + sin^2α -2sinβsinα \)
↓ \(cos^2θ + sin^2θ = 1\)の公式
\( = -2cosαcosβ -2sinαsinβ +2 \)
\( CD^2 = (cos(α-β) – 1)^2 + sin^2(α – β) \)
\( = cos^2(α-β) +1 -2cos(α-β) + sin^2(α – β) \)
↓ \(cos^2θ + sin^2θ = 1\)の公式
\( = -2cos(α-β) +2 \)

上記の考察の通り、AB=CDのはずなので

\( AB^2 = CD^2 \)
\( -2cosαcosβ -2sinαsinβ +2 = -2cos(α-β) +2 \)
↓整理
\( cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ \)

となりcos(α- β)の加法定理が証明できます!

step2: cos(α+β)式への展開

コチラのページで解説している負角定理を使います。

負角定理

\( cos(-θ)= cos(θ)\)
\( sin(θ) = – sin(θ)\)

cos(α+β)を式変形していくと、、

\( cos(α+β) = cos(α-(-β)) \)
↓マイナスの加法定理適応
\(= cosαcos(-β) + sinαsin(-β)\)
↓負角定理適応
\( = cosαcosβ \ – \ sinαsinβ \)

という式が成り立ちます。故にcosについてまとめると↓の加法定理が成り立つと言えるんです!

$$ \displaystyle cos(α \pm β) = cosαcosβ \mp sinαsinβ $$

step3: sin式への展開

さらにコチラのページで解説した余角定理↓を使ってsinに変換してみます。

余角定理

\( sinθ = cos(90 – θ)\)
\( cosθ = sin(90 – θ)\)

これを使って\( cos(90 – (α \pm β))\)を計算してみると、、

\( cos(90 – (α \pm β)) = cos((90 – α) \mp β)) \)
\( = cos(90 – α)cosβ \pm sin(90 – α)sinβ\)
↓負角定理で変換
\( = sinαcosβ \pm cosαsinβ\)
↓\( sinθ = cos(90 – θ)\)なので
\( sin(α \pm β) = sinαcosβ \pm cosαsinβ \)

とsinについての式も導けます!

step4: tan式への展開

tanは\(\large tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}\)なのでこれに↑で導出した式をいれればOKです!

\(\large tan(α \pm β) = \frac{sin(α \pm β)}{cos(α \pm β)}\)
↓ cosθとsinθの加法定理適応
\( \Large = \frac{sinαcosβ \pm cosαsinβ}{cosαcosβ \mp sinαsinβ} \)
↓ cosαcosβで分母分子を割る
\( \Large = \frac{\frac{sinα}{cosα} \pm \frac{sinβ}{cosβ}}{1 \mp \frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}} \)
↓各項を\(tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}\)で変換
\( \Large = \frac{tanα \pm tanβ}{1 \mp tanαtanβ} \)

式を導出してる過程でcosαcosβで割っているのを見ればわかる通りですが、cos=0となるα=90度 or β=90度の時にはtanの加法定理は直接計算できないため、純粋にcosとsinから算出したほうが良いです。

このように、cosに関する公式に余角定理などを適応していけばsin,tanの式も導けるんです!

シミュレーターで加法定理が成り立つことを確認しよう!

加法定理(引き算)シミュレーター

まず↓のαとβの引き算側の定理をシミュレーターで確認します。

加法定理(引き算)

\( \displaystyle cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ\)
\( \displaystyle sin(α – β) = sinαcosβ – cosαsinβ \)
\( \displaystyle tan(α – β) = \frac{tanα – tanβ}{1 + tanαtanβ} \)

シミュレーターの説明
  • ↓でαとβの角度を指定すると「α – β」を加法定理から計算します
  • αを赤色、βを青色、そして「α – β」の角度領域を緑色で角度表示します
  • 加法定理の計算結果が成り立つことを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
  • tan90,270は本来計算できないのですが、ここでは∞としてとりあえず算出しています

角度α
60
角度β
45

[結果]
cos()==0.0
sin()==0.0
tan()==0.0

加法定理(足し算)シミュレーター

次はαとβの足し算側の計算を確認してみましょう!

加法定理(足し算)

\( \displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ \)
\( \displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ \)
\(\displaystyle tan(α + β) = \frac{tanα + tanβ}{1 – tanαtanβ}\)

シミュレーターの説明
  • ↓でαとβの角度を指定すると「α + β」を加法定理から計算します
  • αを赤色、βを青色、そして「α + β」の角度領域を緑色で角度表示します
  • 加法定理の計算結果が成り立つことを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
  • tan90,270は本来計算できないのですが、ここでは∞としてとりあえず算出しています

角度α
60
角度β
45

[結果]
cos()==0.0
sin()==0.0
tan()==0.0

 

「加法定理」まとめ

  • 角度αとβの足し算引き算に相当するcos/sin/tanは、αとβの三角関数を使って定理から求められる
  • この加法定理は様々なところで応用される大事な定理です

 


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