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半角の公式(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!
今回は半角の公式です。コチラは前回解説した加法定理の応用になります。

シミュレーターでその意味を理解しておきましょう!

半角の公式(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

半角の公式とは

半角の公式とは↓の3つの式のことを言います。角度θ/2のcos/sin/tanを計算する公式です。実際には2乗になっているので、符号を意識してルートをとる必要があります。

半角の公式

$$ \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} $$

これは2倍角の公式を使うと簡単に導けます。

半角の公式の証明

cos/sin/tanの順に2倍角の公式を使って証明していきます

cosの半角の公式の証明

↓の2倍角の公式に対して

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2α = 2cos^2α – 1 $$

\(\large α=\frac{θ}{2}\)と代入して、すると半角の公式が導けます。

\( \displaystyle cosθ = 2cos^2\frac{θ}{2} – 1\)
↓整理
\( \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2}\)

sinの半角の公式の証明

↓の2倍角の公式に対して

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2α = 1 – 2sin^2α $$

α=\frac{θ}{2}と代入して、すると半角の公式が導けます。

\( \displaystyle cosθ = 1 – 2sin^2\frac{θ}{2} \)
↓整理
\( \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2}\)

tanの半角の公式の証明

これは単純に↑のsinとcosの半角公式から導けます

\( \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{sin^2\frac{θ}{2}}{cos^2\frac{θ}{2}} \)
↓半角公式代入
\( \displaystyle = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} \)

シミュレーターで半角の公式が成り立つことを確認しよう!

半角の公式が成り立つことを確認してみましょう!

半角の公式

$$ \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} $$

シミュレーターの説明
  • ↓でθを指定すると半角の公式から\(\large \frac{θ}{2}\)の三角関数の二乗値を計算します
  • θを青色、\(\large \frac{θ}{2}\)を赤色の角度で示しています
  • 半角の公式の計算結果が成り立つこと、cos二乗とsin二乗の和が1になることを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
  • tan90,270は本来計算できないのですが、ここでは∞としてとりあえず算出しています
角度θ
60
[結果]
\(cos^2\)()==0.0
\(sin^2\)()==0.0
\(tan^2\)()==0.0


 

「半角の公式」まとめ

  • 2倍角の公式を変形すると、半角の公式が導ける

 


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