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数学入門:二次関数をシミュレーション/図解で理解!

二次関数はU字型の曲線グラフになります

前回、一次関数(y=ax+b)についてシミュレータを用いて説明をしました。今回は二次関数になります。二次関数は以下のような形で表せる関数です。

一次関数

$$ \large{y = ax^2 + bx + c }$$

一次関数との違いは「ax^2」という項が入ることです。グラフはa=0出ない限り、下図のような曲線になります。というより、a=0の場合は一次関数と同じですよね。

この二次関数グラフ、実際に手を動かしてどんな形状になるのかシミュレータで確認してみましょう!

シミュレーターで自由に二次関数を操作して理解しよう!

上記のような\(\large{y = ax^2 + bx + c}\)という一次関数/線形関数を下記のシミュレーターで自由自在に操ってグラフ描画することが可能です!

a
1
b
1
c
1

[関数]
\( {y=} \) + 1\( {x^2 } \) + 1\( {x } \) + 1

重要事項

重要事項1:aによってU字の形状が決まる。

上のシミュレーターで分かる通り、aを変化させるとU字の形状が変わります。aの絶対値が大きいほど、傾斜の強いU字型になります。逆にいうと、aが一定ならばb,cが変わってきてもその形状は同一になります。

重要事項2:cによってU字の上下の位置がきまる

コレに対してcは切片です。切片は、「関数グラフとy軸の交点」のことです。x=0であれば、y=cとなるため、y軸上では必ずc点を通ることになります。つまり、cはU字グラフの上下の位置を決める要素です。

重要事項3:bによってU字の位置が変わる。でもその変わり方は複雑…

上記のa,cに対する変化はわかりやすいものでした。しかし、bの変動はやや複雑です。bが変動すると、U字グラフの位置が変わりますが、単純な上下動や左右動でなく、複雑な動きをします。
⇒ 式変換をして、わかりやすい形に変換してあげることが望ましいです(詳細は別記事で開設予定)

重要事項4:a>0でU字グラフ、a<0で逆U字グラフとなる

二次関数のグラフはU字型になりますが、aの符号によってその向きが変わります。

[a>0の場合:U字型]

⇒このときのU字の先端を極小点といいます。
 
[a<0の場合:逆U字型]

⇒このときの逆U字の先端を極大点といいます。

a=0の場合は上記の通り、一次関数となり形状は直線になります。

まとめ

二次関数は上記の通り、U字型のグラフになります。その形状はx^2の係数であるaによって変わり、xの係数であるbや切片cによってそのU字の極小点/極大点が移動します。また、cは一次関数と同じ、y軸との交点を決める要素になります。

今回の結果を踏まえて次はy=f(x)=0となる点について考察していきたいと思います!

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