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「合成関数」をシミュレーションで分かりやすく理解![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

関数とは何か

数学の分野、その他の学問でも非常に重要な考え方に「関数」というものがあります。関数とは「ある値を入れたら、何らかの計算がなされて、別の値が返ってくるもの」です。関数を数式で表すと以下のようになります。

前回は「関数とは何か?」の基礎について解説しました。今回はその発展で「合成関数」について解説していきます!

合成関数とは2つ以上の関数を組み合わせたもののこと!

関数のおさらい

前回の記事の通りですが、関数は↓のような式を用いて表します。

関数

$$ \large{y = f(x) }$$

関数は、インプットで入る数xに従って、アウトプットyが計算され、出力されます。

合成関数は2つ以上の関数を組み合わせたもの!

上記のように関数はインプットxをもとにアウトプットyを出力します。このアウトプットされたyを、さらに別の関数に入れます。つまり絵にすると↓のような感じです!

つまり最初の関数g(x)のアウトプットを、次の関数f(x)のインプットにするんです。このような関数を組み合わせたものを「合成関数」と呼びます
 
 
合成関数は以下のような形で表します。

合成関数

\( \displaystyle{y = f(g(x)) }\)
もしくは
\( \displaystyle{y = f \circ g (x) }\)

\(y = f(g(x))\)はxを入力としてg(x)を計算し、その値を今度はf(x)の入力とすることを記号的に表しています!
 

POINT1つ目の関数のアウトプットを、2個目の関数のインプットにつなげたものを合成関数という!

「合成関数」の動きをシミュレーションで理解しよう!

それでは、この「合成関数」というものを実際にシミュレーションで実行して理解してみましょう!シミュレーターではの↓の2つの関数を使い、

[元の関数]
\(\large{ g(x) = 0.5x + 1 }\)
\(\large{ f(x) = x^2 – 9 }\)

その合成関数を計算する過程をシミュレーションします。

[合成関数]
\( \large{y = f(g(x))} \)
シミュレーションの説明
  • 実行ボタンを押すと、入力xを-10,-9,8,7…と1つずつインプットしていく事が出来ます
  • シミュレーターでg(x)とf(x)を通し、最終的な計算値が出力される過程を表示していきます

「g(x)の出力 = f(x)の入力値」になっていることを確認して実験していきましょう!


合成関数は非常に重要な概念!

このように関数を2つ以上つなぎあわせるのが合成関数です。特に微分・積分の分野ではこの合成関数がかなり重要になってきますので、必ず理解しておきましょう!
 

まとめ

  • 合成関数は2つの関数を組み合わせたもの
  • 1つ目の関数のアウトプットが、2つ目の関数のインプットとなる

 


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