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数学入門:なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか?をアニメーション付きで解説!

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!なぜ、cosとsinが便利なのか、どうやって使うのかをアニメーションで解説していますので、イメージを掴んでいただければと思います!

直角三角形の横線/縦線/斜線の比率は、角度で決まる!

まず、なぜ三角関数が便利なのか、よく使われるのかについて解説します!

ポイントは相似関係!相似関係があれば、比率で計算できる!

図形には「相似」という概念があるからです。その定義は↓の通りです。

相似:図形の形が同じなら、図形の大きさが変わっても各辺の比率は変わらない

これは簡単にいうと、↓のように図形が拡大縮小しても、各辺の比率は変わらないということです!同じ三角形なら、三角形が大きくなると、斜線と横線/縦線の長さは比例して大小するため比率は変わらないんです

直角三角形は一つ角度が決まれば、形が決まる

では、三角形の形はどうやって決まるかというと、、、角度が決まれば自動的に決まるんです。3つの角度が決まれば、辺の長さはわからなくても形は決まってしまうんです。

そして、直角三角形は1角が90度と決まっているので、1つの角度さえ決まれば、自動的に形が決まるんです! ↓のアニメーションの通りで、1つの角度が決まれば、同時にもう一方の角度が決まるのです。

つまり、「角度さえ決まれば、各辺の比率が決まる」んです!

これが便利なので、各角度の時の斜線/底辺/縦辺の比率に名前をつけたのがcos,sin,tanという三角関数なのです!

もっというと、たった一辺でも長さがわかれば、全辺の長さをcos/sin等を使って求められるのです!

cosθとsinθの定義

↑の前提を踏まえて、cosθとsinθの定義を述べます。

↑のような直角三角形があったとき、cosとsinを次のように定義します。

cos/sinの定義

cosθ=「斜辺と角θをなす横辺(赤線)」の長さ/斜辺の長さ(黒線)
sinθ=「角θと接さない縦辺」の長さ(青線)/斜辺の長さ(黒線)

↑で説明したとおり、三角形の形と各辺の比率はこの角度θだけで決まります。この比率こそが、cosθとsinθなんですよね。

そして、この比率(cos,sin)さえわかれば「斜線から底辺の長さを求める」「斜線から縦線の長さを求める」等、様々な変換が出来るのです! 

cosθの使い方

それでは、具体的にcosθの使い方をアニメーションで示します!cosとsinで似ていてとまどうので、ここでイメージをつけましょう!

cosθは上記の定義の通り斜線と底辺(θに隣接する辺)の比率なので、↓のような変換が可能になります。

[利用シーン]
「斜辺の長さ」 から 「角度θで隣接する辺の長さ」を求めたい時
[計算式]
「角度θで隣接する辺の長さ」= 「斜辺の長さ」× cosθ

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θを通って」変換するイメージです。ここがsinとの違いです。

sinθの使い方

同様にsinもアニメーションでイメージをつけてみましょう!

[利用シーン]
「斜辺の長さ」から 「角度θと逆側辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「角度θと逆側辺の長さ」 = 「斜辺の長さ」× sinθ

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θと逆な方向に回転して」変換するイメージです。cosとsin、どっちを使えば分からなくなったりしますので、「cosはθを通って変換、sinはθを通らずに変換」とイメージをつけておくといいと思います!

横線,縦線→斜線への変換も、もちろん可能!

上記の変換では、一番典型的な「斜辺 → 横辺」「斜辺 → 縦辺」への変換について説明しました。しかし、もちろんこの逆の変換も可能です。是非、参考にして下さい。

cosθの逆変換の使い方

[利用シーン]
「角度θで隣接する辺の長さ」から「斜辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「斜辺の長さ」= 「角度θで隣接する辺の長さ」÷ cosθ

先程はcosθを掛けて「斜線→隣接辺」へ変換してました。この逆で隣接辺をcosθで割ると、斜線の長さに変換できるんですね!

cosθの逆変換の使い方

[利用シーン]
「角度θの逆側辺の長さ」から「斜辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「斜辺の長さ」= 「角度θの逆側辺の長さ」÷ sinθ

こちらも同様ですね。sinθをかけて「斜線→逆側辺」に変換していたので、その逆に逆側辺をsinθで割ると、斜辺の長さが求められます!

数学入門:三角比(cos/sin/tan)
1.三角関数(sin,cos)の定義
2.cosθとsinθの関係のアニメーション
3.cos/sinの各定理のシミュレーション
4.なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか? (本記事)

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