様々な学問/勉強課目をシミュレーションで解説!シミュレーター/ツール/ゲームで、いろんな学問を楽しく分かりやすく解説するサイトです!思考の改善や、効率化の話題も!
⇒ 本ブログの詳細/連絡先はコチラ!
学問系TOP 数学 物理 統計学 コンピューター 経済学 Webツール
  1. ホーム
  2. 〇学問シミュレーター/改善・効率化
  3. 数学
  4. 三角比・三角関数
  5. 三角関数sin/cos/tan
  6. なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか?をアニメーション付きで解説![数学入門]
■注目記事一覧

高校数学 教科書用シミュレーターの制作に携わりました!!

微分の意義を物理の「位置 – 速度 – 加速度」でシミュレートして理解!

二次方程式の解の公式をシミュレーターで理解しよう!

本サイトの「サイコロ シミュレーター」が熊本の特別教育テレビ授業で使われました!

積分の意味をシミュレーターで理解しよう!

三次関数の微分をシミュレーターで理解しよう!

順列のパターンをシミュレーターで理解しよう!
 
スポンサーリンク
Twitter(更新情報)
全テーマ共通記事一覧

なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか?をアニメーション付きで解説![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!なぜ、cosとsinが便利なのか、どうやって使うのかをアニメーションで解説していますので、イメージを掴んでいただければと思います!
なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか?をアニメーション付きで解説![数学入門]

直角三角形の横線/縦線/斜線の比率は、角度で決まる!

まず、なぜ三角関数が便利なのか、よく使われるのかについて解説します!

ポイントは相似関係!相似関係があれば、比率で計算できる!

図形には「相似」という概念があるからです。その定義は↓の通りです。

相似:図形の形が同じなら、図形の大きさが変わっても各辺の比率は変わらない

これは簡単にいうと、↓のように図形が拡大縮小しても、各辺の比率は変わらないということです!同じ三角形なら、三角形が大きくなると、斜線と横線/縦線の長さは比例して増加するため比率は変わらないんです

直角三角形は一つ角度が決まれば、形が決まる

では、三角形の形はどうやって決まるかというと、、、角度が決まれば自動的に決まるんです。3つの角度が決まれば、辺の比率が決まります(相似関係)。

そして、直角三角形は1角が90度と決まっているので、1つの角度さえ決まれば、自動的に形が決まるんです! ↓のアニメーションの通りで、1つの角度が決まれば、同時にもう一方の角度が決まるのです。

1つの角度さえ決まれば、各辺の比率が決まります。これが便利なので、各角度の時の斜線/底辺/縦辺の比率に名前をつけたのがcos,sin,tanという三角関数なのです!

たった一辺でも長さがわかれば、全辺の長さをcos/sin等を使って求められるのです!

cosθとsinθの定義

↑の前提を踏まえて、cosθとsinθの定義を述べます。

↑のような直角三角形があったとき、cosとsinを次のように定義します。

cos/sinの定義

cosθ=「斜辺と角θをなす横辺」の長さ(赤線)/斜辺の長さ(黒線)
sinθ=「角θと接さない縦辺」の長さ(青線)/斜辺の長さ(黒線)

↑で説明したとおり、三角形の形と各辺の比率はこの角度θだけで決まります。この比率こそが、cosθとsinθなんですよね。

そして、この比率(cos,sin)さえわかれば「斜線から底辺の長さを求める」「斜線から縦線の長さを求める」等、様々な変換が出来るのです! 

cosθの使い方をアニメーションで理解!

それでは、具体的にcosθの使い方をアニメーションで示します!cosとsinで似ていてとまどうので、ここでイメージをつけましょう!

cosθは上記の定義の通り斜線と底辺(θに隣接する辺)の比率なので、↓のような変換が可能になります。

[利用シーン]
「斜辺の長さ」 から 「角度θで隣接する辺の長さ」を求めたい時
[計算式]
「角度θで隣接する辺の長さ」= 「斜辺の長さ」× cosθ

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θを通って」変換するイメージです。ここがsinとの違いです。
 

POINT斜辺の長さ × cosθ = 角度θで隣接する辺の長さ

sinθの使い方をアニメーションで理解!

同様にsinもアニメーションでイメージをつけてみましょう!

[利用シーン]
「斜辺の長さ」から 「角度θと逆側辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「角度θと逆側辺の長さ」 = 「斜辺の長さ」× sinθ

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θと逆な方向に回転して」変換するイメージです。cosとsin、どっちを使えば分からなくなったりしますので、「cosはθを通って変換、sinはθを通らずに変換」とイメージをつけておくといいと思います!
 

POINT斜辺の長さ × sinθ = 角度θと逆側辺の長さ

横線,縦線→斜線への変換も、もちろん可能!

上記の変換では、一番典型的な「斜辺 → 横辺」「斜辺 → 縦辺」への変換について説明しました。しかし、もちろんこの逆の変換も可能です。是非、参考にして下さい。

cosθの逆変換の使い方

[利用シーン]
「角度θで隣接する辺の長さ」から「斜辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「斜辺の長さ」= 「角度θで隣接する辺の長さ」÷ cosθ

先程はcosθを掛けて「斜線→隣接辺」へ変換してました。この逆で隣接辺をcosθで割ると、斜線の長さに変換できるんですね

cosθの逆変換の使い方

[利用シーン]
「角度θの逆側辺の長さ」から「斜辺の長さ」に変換したい時
[計算式]
「斜辺の長さ」= 「角度θの逆側辺の長さ」÷ sinθ

こちらも同様ですね。sinθをかけて「斜線→逆側辺」に変換していたので、その逆に逆側辺をsinθで割ると、斜辺の長さが求められます
 

「三角関数の活用」まとめ

  • 三角関数を使うと、斜辺から横辺/縦辺の長さを簡単に求められる
  • 逆に横辺/縦辺の長さから斜辺の長さを求めることも、cos/sinで割ることで可能

 


⇒「三角関数sin/cos/tan」カテゴリ記事一覧

その他関連カテゴリ




お気軽にコメントお願いします!

Your email address will not be published.




記事カテゴリ