なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか？をアニメーション付きで解説！[数学入門]

2021-02-28　 三角関数sin/cos/tan

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています！なぜ、cosとsinが便利なのか、どうやって使うのかをアニメーションで解説していますので、イメージを掴んでいただければと思います！

直角三角形の横線/縦線/斜線の比率は、角度で決まる！

まず、なぜ三角関数が便利なのか、よく使われるのかについて解説します！

ポイントは相似関係！相似関係があれば、比率で計算できる！

図形には「相似」という概念があるからです。その定義は↓の通りです。

これは簡単にいうと、↓のように図形が拡大縮小しても、各辺の比率は変わらないということです！同じ三角形なら、三角形が大きくなると、斜線と横線/縦線の長さは比例して増加するため比率は変わらないんです！

直角三角形は一つ角度が決まれば、形が決まる

では、三角形の形はどうやって決まるかというと、、、角度が決まれば自動的に決まるんです。3つの角度が決まれば、辺の比率が決まります(相似関係)。

そして、直角三角形は1角が90度と決まっているので、1つの角度さえ決まれば、自動的に形が決まるんです！ ↓のアニメーションの通りで、1つの角度が決まれば、同時にもう一方の角度が決まるのです。

1つの角度さえ決まれば、各辺の比率が決まります。これが便利なので、各角度の時の斜線/底辺/縦辺の比率に名前をつけたのがcos,sin,tanという三角関数なのです！

たった一辺でも長さがわかれば、全辺の長さをcos/sin等を使って求められるのです！

cosθとsinθの定義

↑の前提を踏まえて、cosθとsinθの定義を述べます。

↑のような直角三角形があったとき、cosとsinを次のように定義します。

↑で説明したとおり、三角形の形と各辺の比率はこの角度θだけで決まります。この比率こそが、cosθとsinθなんですよね。

そして、この比率(cos,sin)さえわかれば「斜線から底辺の長さを求める」「斜線から縦線の長さを求める」等、様々な変換が出来るのです！　

cosθの使い方をアニメーションで理解！

それでは、具体的にcosθの使い方をアニメーションで示します！cosとsinで似ていてとまどうので、ここでイメージをつけましょう！

cosθは上記の定義の通り斜線と底辺(θに隣接する辺)の比率なので、↓のような変換が可能になります。

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θを通って」変換するイメージです。ここがsinとの違いです。
　

sinθの使い方をアニメーションで理解！

同様にsinもアニメーションでイメージをつけてみましょう！

これをアニメーションにすると↓のような感じ。

ポイントは↑のアニメのように「斜線を角度θと逆な方向に回転して」変換するイメージです。cosとsin、どっちを使えば分からなくなったりしますので、「cosはθを通って変換、sinはθを通らずに変換」とイメージをつけておくといいと思います！
　

横線,縦線→斜線への変換も、もちろん可能！

上記の変換では、一番典型的な「斜辺 → 横辺」「斜辺 → 縦辺」への変換について説明しました。しかし、もちろんこの逆の変換も可能です。是非、参考にして下さい。

cosθの逆変換の使い方

先程はcosθを掛けて「斜線→隣接辺」へ変換してました。この逆で隣接辺をcosθで割ると、斜線の長さに変換できるんですね！

cosθの逆変換の使い方

こちらも同様ですね。sinθをかけて「斜線→逆側辺」に変換していたので、その逆に逆側辺をsinθで割ると、斜辺の長さが求められます！
　

[関連記事] 数学入門：三角比(cos/sin/tan)

1．三角関数(sin,cos)の定義

2．cosθとsinθの関係のアニメーション

3．cos/sinの余角/負角/補角定理のシミュレーション

4．加法定理(cos/sin/tan)

5．2倍角の公式(cos/sin/tan)

6．半角の公式(cos/sin/tan)

7．3倍角の公式(cos/sin)

8．なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか？(本記事)

9．三角関数(sin,cos)の微分