「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

2022-02-26　

前回記事で、$ax^2 + bx + c = 0$の解の個数を判別する式の説明をしました。今回は実際に解を算出する「二次方程式の解の公式」について説明します！
「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

1 おさらい：二次関数の「平方完成」と「解の判別式」
2 「二次方程式の解」とは？
3 実際に二次方程式の解を求めてみる
4 「二次方程式(二次関数)の解の公式」と「解の判別式」の関係
5 「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーターで理解しよう！
6 まとめ

おさらい：二次関数の「平方完成」と「解の判別式」

二次関数は↓の形式で表せる関数です。a=0だと一次関数になるため、以後a≠0の前提で説明します。

二次関数

$$ \large{y = ax^2 + bx + c }$$

この式は↓のように変形できます。

二次関数の平方完成形

$$ \large{y = a(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2 -4ac}{4a} }$$

これを平方完成形といいます！この形は、$y=ax^2$を$y=a(x -B)^2 + C $の形で平行移動したものと言えます。

故に、二次関数の頂点が↓だと分かるんです！

二次関数の頂点

$ \displaystyle \large{ (B,C) = (-\frac{b}{2a}} , -\frac{b^2 -4ac}{4a}) $

この頂点の位置を考慮すると↓の判別式が導けます（詳細は前回記事）

二次方程式解の判別式

$\Large{D＝b^2 -4ac}$ としたとき、
D < 0 ⇒ 解無し（二次関数はx軸と交わらない）
D = 0 ⇒ 解1つ（二次関数とx軸が接する）
D > 0 ⇒ 解2つ(二次関数とx軸が交わる）

「二次方程式の解」とは？

二次関数の解を求めるとは、↓のように「y=0になる場合のxを求める」ことです。

二次関数の解

$$ \large{y = ax^2 + bx + c = 0}$$となるxを求めること

つまり、↓のようにx軸と二次関数の交点(青い点)を求めることを意味します！

実際に二次方程式の解を求めてみる

この解を求めるために、平方完成の形を使用します。

二次関数の平方完成形

$$ \large{y = a(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2 -4ac}{4a} }$$

これがy=0になるxを求めていくと、、、

$\displaystyle \large{a(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2 -4ac}{4a} = 0}$
↓定数項移動
$\displaystyle \large{a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a}}$
↓aで割る
$\displaystyle \large{(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}}$
↓二乗部分の解をルートをつかって表す
$\displaystyle \large{ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}$
↓左辺の定数を右辺へ
$\displaystyle \large{ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}$

となります！これが二次方程式の解の公式です！プラスマイナスが入っているので、解が2つあるということを示しています！

二次方程式(二次関数)の解の公式

$$ \large{ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}} $$