「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

2022-02-26　

前回記事で、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解の個数を判別する式の説明をしました。今回は実際に解を算出する「二次方程式の解の公式」について説明します！
「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

1 おさらい：二次関数の「平方完成」と「解の判別式」
2 「二次方程式の解」とは？
3 実際に二次方程式の解を求めてみる
4 「二次方程式(二次関数)の解の公式」と「解の判別式」の関係
5 「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーターで理解しよう！
6 まとめ

おさらい：二次関数の「平方完成」と「解の判別式」

二次関数は↓の形式で表せる関数です。a=0だと一次関数になるため、以後a≠0の前提で説明します。

二次関数

$y = a x^{2} + b x + c$

この式は↓のように変形できます。

二次関数の平方完成形

$y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

これを平方完成形といいます！この形は、 $y = a x^{2}$ を $y = a (x - B)^{2} + C$ の形で平行移動したものと言えます。

故に、二次関数の頂点が↓だと分かるんです！

二次関数の頂点

$(B, C) = (- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})$

この頂点の位置を考慮すると↓の判別式が導けます（詳細は前回記事）

二次方程式解の判別式

$D ＝ b^{2} - 4 a c$ としたとき、
D < 0 ⇒ 解無し（二次関数はx軸と交わらない）
D = 0 ⇒ 解1つ（二次関数とx軸が接する）
D > 0 ⇒ 解2つ(二次関数とx軸が交わる）

「二次方程式の解」とは？

二次関数の解を求めるとは、↓のように「y=0になる場合のxを求める」ことです。

二次関数の解

$y = a x^{2} + b x + c = 0$ となるxを求めること

つまり、↓のようにx軸と二次関数の交点(青い点)を求めることを意味します！

実際に二次方程式の解を求めてみる

この解を求めるために、平方完成の形を使用します。

二次関数の平方完成形

$y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$

これがy=0になるxを求めていくと、、、

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 0

↓定数項移動

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

↓aで割る

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

↓二乗部分の解をルートをつかって表す

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

↓左辺の定数を右辺へ

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

となります！これが二次方程式の解の公式です！プラスマイナスが入っているので、解が2つあるということを示しています！

二次方程式(二次関数)の解の公式

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

「二次方程式(二次関数)の解の公式」と「解の判別式」の関係

↑のような公式になりますが、前回記事で説明した通り、この方程式に必ず解があるとは限りません。

解があるかどうかは↓で判別できます。

二次方程式解の判別式

これをみると、判別式Dが↓解の公式のルートの中の式と一致していることが分かります。つまり、解の判別式とは「解の公式のルート部分が正となり、解が存在するかどうか判定する式」でもあるんです！

二次方程式(二次関数)の解の公式

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Dがプラスなら解は2つとれます。しかしDがマイナスならそんな解ないはずですし、D=0ならルート部分は消えるので、解は1つしかないことになるんです！

POINT「解の判別式」＝「二次方程式の解の公式のルート内の式」。ここを見れば解の個数が分かる！

「二次方程式(二次関数)の解の公式」をシミュレーターで理解しよう！

それでは解説してきた、「二次方程式の解」の考え方をシミュレーターで確認してみましょう！

$y = a x^{2} + b x + c$ という二次関数をシミュレートできます！

シミュレーターの説明

↓でa,b,cを指定すると、二次関数がグラフ表示されます
x軸との交点(y＝0解の位置)を青点で示しています
解xが↑で説明した解の公式に当てはまっていることを確認しましょう
判別式Dの符号によって、解の個数が変わることを確認しましょう

[表示関数]

y =

+ 1

x^{2}

+ 1

x

+ 1
[解]
解の判別式:

D ＝ b^{2} - 4 a c =

解の個数: 0
解: x = 0

まとめ

二次方程式の解の公式は↓のように導けます。これは二次関数の平方完成形から解いていくと導けます！

二次方程式(二次関数)の解の公式

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

そして解の個数は↓で導けます。この判別式Dは解の公式のルート内の式です。つまり、このルート部分で解が何個あるかが決まるという事ですね！

二次方程式解の判別式

「二次方程式の解の判別式」まとめ

平方完成形から解の公式が導ける
解の個数はルート内の式、つまり判別式Dの符号によって決まる

[関連記事] 二次関数

1．二次関数シミュレーター

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3．二次方程式の解の判別式

4．二次方程式(二次関数)の解の公式(本記事)

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