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cosθとsinθの関係をアニメーションで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(sin,cos)を解説していきます。三角関数にはcos/sin/tanの3つがありますが、この中でもcosとsinの関係はとても強いです。

今回はこのcos/sinと単位円の関係をアニメーションで超分かりやすく示したいと思います!
cosθとsinθの関係をアニメーションで理解しよう![数学入門]

復習:単位円上でcosは横幅、sinは縦幅の値となる

cosとsinの関数については、コチラのページで基礎をまとめていますので、まずはそちらをご参照下さい!

ここでは簡単にそのポイントだけ復習しておきます。まずcosとsinは↓のような関数になります。角度θが入力パラメタで、-1~+1の値をとる関数です。

三角関数 cos

$$ \large{y = cos(θ) }$$

三角関数 sin

$$ \large{y = sin(θ) }$$

 
その定義は↓のような単位円(半径1の円)を考えるとわかりやすいです。この絵でいう斜線が角度θとなったときの、x軸(横方向)の値がcosθ、y軸(縦方向)の値がsinθとなります。

この円上で、角度θが反時計周りに回るとき、描けるのがcosθグラフとsinθグラフです。

そのグラフは↓のようなカーブになります。しかし、↑の単位円との関係が分かりにくいですよね><

単位円の動きとcos/sinカーブの関係をアニメーションで理解しよう!

上記の単位円とcos/sinカーブの関係性がわかるように、それらが同時に見られるアニメーションを作ってみました!

それが↓コチラです!

[アニメーションの説明]
  • 左上に単位円があり、右側の青い線がsin,下側の赤い線がcosになります
  • 単位円上の縦方向(青線)の位置にsinθグラフが描かれ、横方向(赤線)の位置にcosθグラフが描かれるようになっています
  • cosθは描画の都合上、90度回転して表示しています

これを見れば単位円上の回転により、cos/sinカーブが描かれているのが分かると思います!

青:sin,赤:cos

再生速度
1.0
↑動的に再生速度を変えられます。左端で0にすると、一時停止となります。
 

POINTcosもsinも同じような波形グラフを描く!

cos関数とsin関数の形は同じ。sinはcosを90度遅れて追っている!

↑のアニメーションの通り、cos/sinはほとんど同じグラフを描いています。形は同じ。ただ、その位相が違い、sinのほうがcosと比べて90度遅れて描画されます。

この事から定理

sinとcosの関係

$$ \large{ sin(θ) = cos(θ-90) }$$

が成り立つことが感覚的に分かると思います!
 

「cosθとsinθの関係」まとめ

  • 三角関数cos/sinともに同じような波形グラフを描く
  • sinはcosを90度遅れて追っているだけで、全く同じ形になっている

 


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