3倍角の公式(cos/sin)をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]
2022-03-05 
このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています！
今回は3倍角の公式です。コチラは前回解説した加法定理と2倍角の公式の応用になります。
シミュレーターでその意味を理解しておきましょう！
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3倍角の公式とは
3倍角の公式とは↓の3つの式のことを言います。角度θの3倍のcos/sin/tanを計算する公式です
$$ \displaystyle cos3θ = -3cosθ + 4cos^3θ $$ $$ \displaystyle sin3θ = 3sinθ – 4sin^3θ $$
これは加法定理と2倍角の公式を使うと簡単に導けます。
3倍角の公式の証明
cos/sin/tanの順に加法定理を使って証明していきます
cosの3倍角の公式の証明
↓の加法定理と2倍角の公式を使い
$$ \displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ $$
$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2cosθsinθ $$
α=θ,β＝2θとして加法定理に代入すると↓のようになり、3倍角の公式が得られます。
↓2倍角の公式代入
\(cos(3θ) = cos^3θ – cosθsin^2θ – 2sin^2θcosθ\)
↓整理
\( = cos^3θ – 3cosθsin^2θ\)
↓ \(sin^2θ= 1 – cos^2θ\)代入
\( = cos^3θ – 3cosθ +3cos^3θ\)
\( = – 3cosθ +4cos^3θ\)
sinの3倍角の公式の証明
↓の加法定理と2倍角の公式に対して
$$ \displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ $$
$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2cosθsinθ $$
α=θ,β＝2θとして加法定理に代入すると↓のようになり、3倍角の公式が得られます。
↓2倍角の公式代入
\(sin(3θ) = sinθcos^2θ – sin^3θ + 2cos^2θsinθ\)
↓整理
\( = – sin^3θ + 3cos^2θsinθ\)
↓ \(cos^2θ= 1 – sin^2θ\)代入
\( = – sin^3θ + 3sinθ – 3sin^3θ\)
\( = 3sinθ – 4sin^3θ\)
シミュレーターで3倍角の公式が成り立つことを確認しよう！
3倍角の公式が成り立つことを確認してみましょう！
$$ \displaystyle cos3θ = -3cosθ + 4cos^3θ $$ $$ \displaystyle sin3θ = 3sinθ – 4sin^3θ $$
- ↓でθを指定すると3倍角の公式から3θの三角関数の値を計算します
- θを青色、3θを赤色の角度で示しています
- 3倍角の公式の計算結果が成り立つことを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
cos()==0.0
- 加法定理にα=θ,β＝2θと同じ値を入れると3倍角の公式が導びける
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