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3倍角の公式(cos/sin)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています!
今回は3倍角の公式です。コチラは前回解説した加法定理2倍角の公式の応用になります。

シミュレーターでその意味を理解しておきましょう!

3倍角の公式(cos/sin)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

3倍角の公式とは

3倍角の公式とは↓の3つの式のことを言います。角度θの3倍のcos/sin/tanを計算する公式です

3倍角の公式

$$ \displaystyle cos3θ = -3cosθ + 4cos^3θ $$ $$ \displaystyle sin3θ = 3sinθ – 4sin^3θ $$

これは加法定理と2倍角の公式を使うと簡単に導けます。

3倍角の公式の証明

cos/sin/tanの順に加法定理を使って証明していきます

cosの3倍角の公式の証明

↓の加法定理と2倍角の公式を使い

加法定理(足し算)

$$ \displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ $$

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2cosθsinθ $$

α=θ,β=2θとして加法定理に代入すると↓のようになり、3倍角の公式が得られます。

\(cos(θ + 2θ) = cosθcos2θ – sinθsin2θ\)
↓2倍角の公式代入
\(cos(3θ) = cos^3θ – cosθsin^2θ – 2sin^2θcosθ\)
↓整理
\( = cos^3θ – 3cosθsin^2θ\)
↓ \(sin^2θ= 1 – cos^2θ\)代入
\( = cos^3θ – 3cosθ +3cos^3θ\)
\( = – 3cosθ +4cos^3θ\)

sinの3倍角の公式の証明

↓の加法定理と2倍角の公式に対して

加法定理(足し算)

$$ \displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ $$

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2θ = cos^2θ – sin^2θ $$ $$ \displaystyle sin2θ = 2cosθsinθ $$

α=θ,β=2θとして加法定理に代入すると↓のようになり、3倍角の公式が得られます。

\(sin(θ + 2θ) = sinθcos2θ + cosθsin2θ\)
↓2倍角の公式代入
\(sin(3θ) = sinθcos^2θ – sin^3θ + 2cos^2θsinθ\)
↓整理
\( = – sin^3θ + 3cos^2θsinθ\)
↓ \(cos^2θ= 1 – sin^2θ\)代入
\( = – sin^3θ + 3sinθ – 3sin^3θ\)
\( = 3sinθ – 4sin^3θ\)

シミュレーターで3倍角の公式が成り立つことを確認しよう!

3倍角の公式が成り立つことを確認してみましょう!

3倍角の公式

$$ \displaystyle cos3θ = -3cosθ + 4cos^3θ $$ $$ \displaystyle sin3θ = 3sinθ – 4sin^3θ $$

シミュレーターの説明
  • ↓でθを指定すると3倍角の公式から3θの三角関数の値を計算します
  • θを青色、3θを赤色の角度で示しています
  • 3倍角の公式の計算結果が成り立つことを確認しましょう(小数点2桁表示しているため、微小の誤差はあります)
角度θ
20
[結果]
cos()==0.0
sin()==0.0


 

「3倍角の公式」まとめ

  • 加法定理にα=θ,β=2θと同じ値を入れると3倍角の公式が導びける

 


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