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微分シミュレーター:三角関数(sin,cos)の微分!関数とその導関数(微分)の関係をアニメーションで確認可!

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

高校で習う微分、公式は習うのですが、実際にどういった関数グラフになっているかとか、元の関数との関係性が分かりにくかったりしますよね><
 
微分(導関数)は「元の関数の各点での接線の傾き」を表したものです。ですので、元の関数の接線を描き、その傾きをグラフ化すれば微分(導関数)になっているんです!その関係性がわかるような、シミュレーターを実際に作ってみました!パラメタを変えると、どういった関数/導関数(微分)のグラフになるかをシミュレーターがすぐにアニメーション化してくれます!

微分シミュレーター:三角関数

このシミュレーターでは三角関数sin,cosを、その導関数(微分)と同時に描画します。その関係性を理解しましょう!

sinの微分

まずはsinからです。

\( y= sin(x) \)

関数グラフがそれに従って描かれます。また、各点の接線とその傾きを調査しながら、導関数(微分)グラフを描いていきます!

sinの導関数は、\(y=cos(x)\)になります。この関係性をアニメーションで確認しましょう!

[関数]
\( y= sin(x) \)
[微分(導関数)]
\( y= cos(x) \)

↓値を変えると、自動的にアニメーションが始まります!

再生速度
1.0
↑動的に再生速度を変えられます。左端で0にすると、一時停止となります。
 

POINT sinθ を微分すると cosθ になる!

cosの微分

次にcosの微分です。

\( y= cos(x) \)

関数グラフがそれに従って描かれます。また、各点の接線とその傾きを調査しながら、導関数(微分)グラフを描いていきます!

cosの導関数は、\(y= – sin(x)\)になります。この関係性をアニメーションで確認しましょう!

[関数]
\( y= cos(x) \)
[微分(導関数)]
\( y= – sin(x) \)

↓値を変えると、自動的にアニメーションが始まります!

再生速度
1.0
↑動的に再生速度を変えられます。左端で0にすると、一時停止となります。
 

POINT cosθ を微分すると – sinθ になる!

三角関数の導関数(微分)の要点

三角関数の導関数(微分)は上記の通り、

[sin関数]
\( y= sin(x) ⇒ y’=cos(x)\)
[cos関数]
\( y= cos(x) ⇒ y’=-sin(x)\)

という関係になります。つまり、cosとsinは微分すると逆になるわけです(マイナス記号が付くかの違いありますが)。
というのも、sin/cosの差異は位相が違うのみで、形状は全く同じになるからです
 

sin,cosでは関数/導関数が真逆の関係性になる!

sin,cosは、y= 1 or -1で極大/極小地点で平坦になり、そのとき導関数は0になります(微分の定義から当たり前ですが)

そして、関数がy=0を通る時、その接線の傾きがちょうど1 or -1となるため、導関数はy= 1 or -1となり極大/極小値になります。

つまり、「関数が極大/極小なら、導関数はy=0地点」「関数がy=0なら、導関数は極大/極小地点」という状況です。ですので、関数/導関数が真逆の関係性にあるわけです!

cosとsinが微分すると入れ替わるんですね!
 

「三角関数(sin,cos)の微分」まとめ

  • sin/cosを微分すると相互に入れ替わる
  • sinθを微分すると cosθ になる
  • cosθを微分すると – sinθ となる

 
↓本記事のような微分シミュレーターを各関数で用意しています。色んな関数で実際の「関数」と「導関数(微分)」の関係を確認してみて下さい!
 


 
↓cos,sinに関する他のシミュレーターの一覧はコチラ!


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