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順列(並び順)/階乗の考え方をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

この記事では数学の基礎の「順列(並び順)」について解説していきます。まず「順列」とは何かを具体的なクジの例を用いて説明し、そしてその順列のパターン数に関する公式について説明/証明していきます!
 
多くのシミュレーターがありますので、イメージしやすいと思います!
順列(並び順)/階乗の考え方をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

順列(並び順)とは何か?クジ引きの例で理解しよう!

それではまず順列について説明します。順列とは、「順序がある、数の並び列」のことです。文字だけだとちょっと意味不明だと思いますので、具体的なクジ引きの例で理解しましょう!

シミュレーターの説明
  • 個数を変えると、その個数のクジがランダムで引かれ、数列が作られていきます
  • 引いた数の順が「数列」です

↓個数を決めて、クジ引きをしてみましょう!

個数
7

上記のシミュレーションの例では、個数をnとした時に、1~nの数が並び替えられて順番に引かれていきます。これが数列です。

↓数列の例。クジを引いた順で、数列が決まる

今回は、クジ引きを例にしていますが、「順番を決める」ような事象全般に順列の考え方は当てはめられます。例えば、9人で席の並び順を決めたり、8人で歌う順番を決めたり。全て順列です。

このような順列で、その順番のパターンが何通りあるか考えるのが数学の順列のテーマです!以下ではそのパターン数の考察をシミュレーターを交えてしていきます。

順列(並び順)全パターン出力シミュレーターで、理解しよう!

上記で説明したn個のクジの順列の順序が総計何パターンあるのか、まずは体感するためにシミュレーターで確認してみましょう!
 

シミュレーターの説明
  • 個数を変更すると、その個数での順列パターンを全て列挙していきます
  • 青色数字は前数列から変化があった範囲、灰色数字は前数列と変わらない範囲を示しています
  • 個数が6以上になると、列挙に時間かかるので注意して下さい

色々数字を変えて、実験してみましょう!

個数
3


 
このシミュレーターのように、順列のパターン数はその個数によって決まってきます。
結論から言うと、その個数をnとすると、そのパターンの数は

[個数nの順列のパターン数]
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 … \cdot n \)

通りになります。これをnの階乗といい、数学では\(n!\)という記号で表します。この階乗は

n=1 ⇒ \(1 \) =1パターン
n=2 ⇒ \(1 \cdot 2\) = 2パターン
n=3 ⇒ \(1 \cdot 2 \cdot 3 \) =6パターン
n=4 ⇒ \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \) =24パターン

というように、nが増えるほどパターン数が指数関数的に増えていきます。
 

POINTパターン数はnの階乗となり、数が増えると急激に大くなる!

順列のパターン数が\(n!\)となることを、シミュレーターで帰納的に考えてみよう!

上記の通り、n個の順列の総パターン数は\(n!\)となります。これは、以前の記事で説明した「数学的機能法」的に考えると理解しやすいです。
 
順列パターンを理解するときに大事になるのが、n=k-1の時と、n=kの時の関係性です。n=kの場合を全列挙すると、n=k-1のときのパターン総数をk倍した数になることが分かります。

このn=k-1との関係性を分かりやすく示したのが、↓のシミュレーターです。上のシミュレーターと同じように、↓バーで個数を変えて実行してみて下さい!

シミュレーターの説明
  • 上のシミュレーターと同様に、その個数での順列パターンを全て列挙していきます
  • 青色数字は前数列から変化があった範囲、灰色数字は前数列と変わらない範囲を示しています
  • 先頭数字は赤色で表示しています(意味は後に解説)

個数
3

n=4の場合の例で考えてみよう!

この関係性を例として、n=4の場合を例に挙げて考えてみます。

最初の数字が1となるパターンの数は、残りの数字[2,3,4]3つの並び替えパターンの数と言えます。これはn=3の順列のパターン数なので、\(3!=6\)です。

同様に、最初の数が2,3,4のときにも、残りの3つの数字の順列のパターン数だけ並び順が存在するので、それぞれ\(3!\)パターンとなります。

そのため、結局

[n=4でのパターン数]
\( 4 \cdot 3! = 4! \) 

と表せます。

n=kの場合も同様です

任意のn=kの場合も同様であり、(k-1)!パターンがk個出現するため、

[n=kでのパターン数]
\( k \cdot (k-1)! = k! \) 

と表現できます。そのため、帰納的に

n個の順列のパターン数

n!

と言うことが出来るんです!
 

POINTnとn-1の時を比べて帰納的に考えて、パターン数がnの階乗になることを理解しましょう!

次回は色んなパターンの順列を見ていきます!

今回の記事では、順列とは何かをクジ引きを例にして説明しました。n個のクジがあった場合、その引く順番のパターン総数は\(n!=1 \cdot 2 \cdot 3 … \cdot n\)と階乗になります。
クジの数が一つ増える度に、1倍,2倍,…,n倍とパターン数が増えていくからです。

しかし、順列にはもっと複雑なパターンがあります。例えば「9個のクジから4個のクジを選ぶ時の順列パターン」等です。このようなもっと入り組んだパターンを次回の記事で説明していきます!


 

まとめ

  • 「n個のクジを並び替える」は順列の基本であり、パターン数はnの階乗となる
  • nの階乗になるのは、nとn-1の時を比べ、帰納的に考えていくとわかりやすい

 


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