分かりにくい三角関数(sin,cos)をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

2020-12-13　 三角関数sin/cos/tan

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(sin,cos)を解説していきます。三角関数にはcos/sin/tanの3つがありますが、この中でもcosとsinの関係はとても強いです。

今回はこのcos/sinとシミュレーション/図解で示したいと思います！

三角関数は角度が入力値となる関数です！

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(sin,cos)を解説していきます。三角関数はもう一つtanがありますが、その解説は別ページで行う予定です。

三角関数は以下のような式で表します。

入力値であるθは角度を表します。角度はラジアンという単位もあるのですが、このページでは分かりやすいように360度表記で解説していきます。

cos,sinの定義は以下の通りです。長さ1で角度θの傾きを持つ直線を考えます。この時に、この直線先端の横軸の位置がcos、縦軸の位置をsinといいます。下図でいうならば、横の赤線の長さがcosで、縦の青線の長さがsinになります。

長さ1の直線は角度θを0～360度まで変えていくと、下図の半径1の円上を通っていきます。つまり、角度θによってcos,sinは-1~+1の間で値が変化していきます。

円の公式から、cosとsinの関係式が導ける

上記の通り、cosとsinはそれぞれ長さ1の単位円上のx,yの値と同値になります。ここで円の公式を考えます。円上の点(x,y)では

という式が成り立っています。今は半径=1なので\(x^2 + y^2 = 1\)ですね。今考えている円上ではx=cosθ,y=sinθなので上記式に代入すると、

が導けます。これは常に成り立つ公式で、cosがわかればsinが、sinがわかればcosが自動的に求められることを意味しています！

シミュレーターで直感的に三角関数(cos,sin)を理解しよう！

上記のような説明の定義だけでは分かりにくいですよね。そこで、シミュレーターで実際に角度θを動かして、cos,sinの変化を確認できるようにしてみました！

cos,sinの要点

要点1：cos,sinともにマイナスの値をとりうる

↓のようにcosとsinはマイナスの値をとることがあります。cos,sinともに正確な定義は赤線,青線の長さでなく半径1の先端の位置です。なので、cosは90～270度で、sinは180～360度でマイナス値となります。

要点2：半径１以外の円でも、x=半径*cos(θ),y=半径*sin(θ)で座標を計算できる

シミュレーターでは簡単のために円の半径(直線の長さ)=1となっていました。しかし、半径が１以外の円でも↓のように座標計算が可能です。

cosとsinを使うと、簡単に円上の点の位置を表すことが出来るんです！
　

三角形と考えると、、、cos=横辺/斜辺,sin=縦辺/斜辺と考える事もできます！

上記の定義では、cos,sinを半径1の円の上で表しました。しかし、少し考え方を変えると、直角三角形の斜辺と横辺/縦辺の関係とも考える事ができます！

いかがでしょうか。実は表現が変わっただけで、上記の円のときと実質的には何も変わっていません。cosθ=直感三角形の横辺（斜辺と角θをなす横辺）、sinθ＝直角三角形の縦辺（角θと接さない縦辺）と置き換えて考える事ができるんです。

また、今回の三角形は斜辺の長さ=1でしたが、それ以外の場合でも

として計算することが可能です。（三角形の形は変わらず相似なので）
　
逆にいうと、斜辺の長さと角度θが分かれば、

と計算可能です。cos,sinを使うだけで、簡単に三角形の横縦の長さが計算可能になるんです！これが三角関数の便利な点です＾＾
　

まとめ

本記事では三角関数の基本であるcos,sinの定義を、シミュレーターを用いて解説しました。cos,sinを用いることで、円の上の点の位置を計算したり、三角形の横の長さや縦の長さを計算できます！こういった特徴から、物理の分野でcos,sinは多用されます。

上記のシミュレーターでこの定義のイメージを付けて頂けたらと思います。
　

[関連記事] 数学入門：三角比(cos/sin/tan)

1．三角関数(sin,cos)の定義(本記事)

2．cosθとsinθの関係のアニメーション

3．cos/sinの余角/負角/補角定理のシミュレーション

4．加法定理(cos/sin/tan)

5．2倍角の公式(cos/sin/tan)

6．半角の公式(cos/sin/tan)

7．3倍角の公式(cos/sin)

8．なぜ三角関数(sin,cos)が便利なのか？

9．三角関数(sin,cos)の微分

[関連記事] 数学入門：関数

1．関数とは何か？

2．合成関数

3．関数の平行移動

4．一次関数/線形関数

5．二次関数

6．三角関数(sin,cos)(本記事)

7．指数関数

8．対数関数(log)

9．対数関数(log)の演算法則