「二次方程式の解の判別式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

2022-02-26　

二次関数

前回記事で、二次関数を平方完成するとその性質が分かるという話をしました。今回はその発展の「二次方程式の解の判別式」について解説します！
「二次方程式の解の判別式」をシミュレーション/図解で理解！[数学入門]

1 おさらい：二次関数の「平方完成」とは
2 「二次方程式の解」とは？
3 二次関数の解、3つのパターン
4 二次方程式の解の判別式
5 二次関数の「解の判別式」をシミュレーターで理解しよう！
6 まとめ

おさらい：二次関数の「平方完成」とは

二次関数は↓の形式で表せる関数です。a=0だと一次関数になるため、以後a≠0の前提で説明します。

二次関数

$$ \large{y = ax^2 + bx + c }$$

この式は↓のように変形できます。

二次関数の平方完成形

$$ \large{y = a(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2 -4ac}{4a} }$$

これを平方完成形といいます！この形は、$y=ax^2$を$y=a(x -B)^2 + C $の形で平行移動したものと言えます。

故に、二次関数の頂点が↓だと分かるんです！

二次関数の頂点

$ \displaystyle \large{ (B,C) = (-\frac{b}{2a}} , -\frac{b^2 -4ac}{4a}) $

「二次方程式の解」とは？

二次関数の解を求めるとは、↓のように「y=0になる場合のxを求める」ことです。

二次関数の解

$$ \large{y = ax^2 + bx + c = 0}$$
となるxを求めること

つまり、↓のようにx軸と二次関数の交点(青い点)を求めることを意味します！

二次関数の解、3つのパターン

二次関数の解には↓の3パターンがあります。

パターン1:解がない

これは↓のようにx軸とそもそも交点がない場合です。

パターン2:解が1つある

これは↓のように二次関数がx軸が接しているパターンです。

パターン3:解が2つある

これは↓のように二次関数がx軸と交わっているパターンです。

二次方程式の解の判別式

↑の3パターンを決めるのが、↓の解の頂点のCです。これによって、どこが頂点か決まるので、x軸と接するかが分かりますよね。

二次関数の頂点

$ \displaystyle \large{ (B,C) = (-\frac{b}{2a}} , -\frac{b^2 -4ac}{4a}) $

ここで、a>0の場合は下に凸、a<0の場合は上に凸になるので、下のような場合分けして考えます。

a＞0の場合

↓のように下に凸なので、Cがプラスなら解無し、Cが0なら解1つ、Cがマイナスなら解2つになるはずです

a＞0の場合

〇解がない場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} > 0$
　⇒　$b^2 -4ac < 0$
〇解が1つの場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} = 0$
　⇒　$b^2 -4ac = 0$
〇解が2つの場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} < 0$ 　⇒　$b^2 -4ac > 0$

a＜0の場合

↓のように上に凸なので、Cがマイナスなら解無し、Cが0なら解1つ、Cがプラスなら解2つになるはずです

a＜0の場合

〇解がない場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} < 0$
　⇒　$b^2 -4ac < 0$
〇解が1つの場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} = 0$
　⇒　$b^2 -4ac = 0$
〇解が2つの場合
$C = \large{-\frac{b^2 -4ac}{4a}} > 0$
　⇒　$b^2 -4ac > 0$