tan)をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2022-03-05　

三角関数sin/cos/tan

このページでは簡単に数学の関数の一つである三角関数(cos,sin)について、より分かりやすく解説しています！
今回は半角の公式です。コチラは前回解説した加法定理の応用になります。

シミュレーターでその意味を理解しておきましょう！

半角の公式(cos/sin/tan)をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

1 半角の公式とは
2 半角の公式の証明
3 シミュレーターで半角の公式が成り立つことを確認しよう！

半角の公式とは

半角の公式とは↓の3つの式のことを言います。角度θ/2のcos/sin/tanを計算する公式です。実際には2乗になっているので、符号を意識してルートをとる必要があります。

半角の公式

$$ \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} $$

これは2倍角の公式を使うと簡単に導けます。

半角の公式の証明

cos/sin/tanの順に2倍角の公式を使って証明していきます

cosの半角の公式の証明

↓の2倍角の公式に対して

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2α = 2cos^2α – 1 $$

$\large α=\frac{θ}{2}$と代入して、すると半角の公式が導けます。

$ \displaystyle cosθ = 2cos^2\frac{θ}{2} – 1$
↓整理
$ \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2}$

sinの半角の公式の証明

↓の2倍角の公式に対して

2倍角の公式

$$ \displaystyle cos2α = 1 – 2sin^2α $$

α=\frac{θ}{2}と代入して、すると半角の公式が導けます。

$ \displaystyle cosθ = 1 – 2sin^2\frac{θ}{2} $
↓整理
$ \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2}$

tanの半角の公式の証明

これは単純に↑のsinとcosの半角公式から導けます

$ \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{sin^2\frac{θ}{2}}{cos^2\frac{θ}{2}} $
↓半角公式代入
$ \displaystyle = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} $

シミュレーターで半角の公式が成り立つことを確認しよう！

半角の公式が成り立つことを確認してみましょう！

半角の公式

$$ \displaystyle cos^2\frac{θ}{2} = \frac{1 + cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle sin^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{2} $$ $$ \displaystyle tan^2\frac{θ}{2} = \frac{1 – cosθ}{1 + cosθ} $$

シミュレーターの説明