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「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

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このページでは複素数について、分かりやすく解説しています!
今回は「ド・モアブルの定理」をシミュレーターを用いて分かりやすく説明します!

「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

おさらい:虚数、複素数とは

複素数とは

実数+虚数の組み合わせを一つにしたものを複素数といいます。

複素数の定義

複素数 = 実数と虚数の組み合わせ

例えば「+1.9 + 2.9i」という形です。
複素数は↓のように二次元のグラフで表現します。これを複素数平面といいます

複素数のもう一つの表し方:極形式

複素数はその他にも複素数を表すための方法があるんです。それが極形式になります!

極形式の定義

複素数を↓のように絶対値rと偏角(角度)θであらわしたもの
複素数z = \(r(cosθ + i \ sinθ)\)

コチラのページでも解説していますが、三角関数cosとsinを使えば、↑のように半径rと角度θで位置を表せるんですね。
また、複素数の場合はこの角度を偏角といいます!

複素数の乗算

↓のように二つの複素数 \(z_1\)と\(z_2\)の乗算を考えます。

\( z_1 = r_1(cosθ_1 +i \ sinθ_1)\)
\( z_2 = r_2(cosθ_2 +i \ sinθ_2)\)

加法定理を使うと↓のように計算できます

\( z_1z_2 \)
\( = r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+i \ sin(θ_1+θ_2)\}\)

つまり、複素数の乗算は「絶対値は乗算」「偏角は足し算」という演算になるんです

具体的に\(z_1\)を赤色、\(z_2\)を青色として、乗算したものを緑色で示したのが↓になります。
絶対値(長さ)は掛け算されて、2.0*3.0=6.0となります。
それに対して角度は100+40=140°と足し算なるんですね!

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理は↓の式が成り立つという定理です

ド・モアブルの定理

\((cosθ+ i \ sinθ)^n=cos(nθ)+ i \ sin(nθ)\)

これは、↑で解説した複素数の乗算を考えれば簡単です。絶対値=1なので↓のように定式化できます。

\( z = (cosθ +i \ sinθ)\)

これを帰納法で証します。

n=1が成り立つのは自明ですね。
次にn=kが成り立つとして、n=k+1のときを考えると

\( z^k*z = (cos(kθ) +i \ sin(kθ))*(cos(θ) +i \ sin(θ))\)
↓複素数の乗算は、偏角の足し算
\( z^{k+1} = (cos(kθ+θ) +i \ sin(kθ+θ)) \)
\( = cos(k+1)θ +i \ sin(k+1)θ \)

となるため、k+1の時も成り立ちます。
故に、↑のド・モアブルの定理は当たり前のように成り立ちます!

「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう!

それでは解説してきた、「複素数の乗算」をシミュレーターで確認してみましょう!↓の形でθとnを指定すると、n乗した複素数を表示します!

\( z = (cosθ +i \ sinθ)\)
シミュレーターの説明
  • 複素数のθとnを指定すると、\(z^n\)を計算します
  • \(z\)を青色、そして乗算結果\(z^n\)は緑色で示しています

θ
20
n
3

[極形式]
\(z^n\) = (cos()+i sin())


 

「ド・モアブルの定理」まとめ

  • 絶対値1の複素数は、n乗するのはn倍回転するのに等しい

 


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