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「複素数の極形式への変換」をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

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このページでは複素数について、分かりやすく解説しています!
今回は「複素数の極形式への変換」をシミュレーターを用いて分かりやすく説明します!

「複素数の極形式への変換」をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

おさらい:虚数、複素数とは

複素数とは

実数+虚数の組み合わせを一つにしたものを複素数といいます。

複素数の定義

複素数 = 実数と虚数の組み合わせ

例えば「+1.9 + 2.9i」という形です。
複素数は↓のように二次元のグラフで表現します。これを複素数平面といいます

複素数のもう一つの表し方:極形式

複素数はその他にも複素数を表すための方法があるんです。それが極形式になります!

極形式の定義

複素数を↓のように長さrと偏角(角度)θであらわしたもの
複素数z = \(r(cosθ + i \ sinθ)\)

コチラのページでも解説していますが、三角関数cosとsinを使えば、↑のように半径rと角度θで位置を表せるんですね。
また、複素数の場合はこの角度を偏角といいます!

例えばr=7,θ=30°だった場合は↓のようになります。

標準形の複素数から、極形式への変換

↑にように複素数は2パターンで表せます。この変換は以下のようにしていけば出来ます。

今、標準形を↓のように実数部をa,虚数部をbと表すことにします。

複素数の標準形

\( z = a + bi\)

極形式の長さ(絶対値)

長さrについては、円の半径と同じく↓の公式で求められます。極形式ではこれを絶対値といいます。

極形式の長さ(絶対値)

\( r = \sqrt{a^2 + b^2} \)

これは↓のような図になることを考えれば自明ですよね。

cosθ+ i sinθ部分

cosθ+ i sinθの部分は絵にすると、↓のようになります。斜め線の長さが\( r = \sqrt{a^2 + b^2} \)になるので、「cos=横線/斜め」と「sin=縦線/斜め」という定義を用いれば↓のようになります。

極形式のcosとsin

\(\displaystyle cosθ = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
\(\displaystyle sinθ = \frac{b}{r} =\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

cosθとsinθがわかるので、θはここから計算できるはずなんです。

最終的な極座標への変換

↑の論議をまとめると、最終的な極座標への変換は↓のようになります。

極形式の長さ(絶対値)

\( 複素数z = a + bi \)
\(\displaystyle = r(cosθ + i \ sinθ) \)
\(\displaystyle = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}i) \)

実際に計算すると、極形式も標準形も同じ値になることがわかります!

POINT標準形も極形式も式変換してるだけで、同値となる

「複素数の極形式への変換」をシミュレーターで理解しよう!

それでは解説してきた、「複素数の極形式への変換」をシミュレーターで確認してみましょう!↓の標準形aとbの値を指定すると、極座標に変換するものです。

複素数の標準形

\( z = a + bi\)

シミュレーターの説明
  • ↓で標準形の実数aと虚数bをそれぞれ指定できます
  • 指定した標準形の複素数が、どのような極形式になるか確認してみましょう
  • ↑で説明した式の通りに変換されていることを確認しましょう!

実数a
4.0
虚数b
6.0

[極形式]
z = (cos()+i sin())


 

「複素数の極形式」まとめ

  • 標準形から極形式へは図形的に考えれば変換できる
  • 極形式も計算すれば標準形の「a + bi」という形に戻せるため、2つの表記法は同値であるといえる

 


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