様々な学問/勉強課目をシミュレーションで解説!シミュレーター/ツール/ゲームで、いろんな学問を楽しく分かりやすく解説するサイトです!思考の改善や、効率化の話題も!
⇒ 本ブログの詳細/連絡先はコチラ!
学問系TOP AI/ChatGPT 数学 物理 統計学 コンピューター 経済学 Webツール
  1. ホーム
  2. 〇学問シミュレーター/改善・効率化
  3. 物理学
  4. 力学
  5. 円運動
  6. 等速円運動を速度・加速度の変化をシミュレーターで観察して、理解を深めよう![物理入門]
■注目記事一覧

高校数学 教科書用シミュレーターの制作に携わりました!!

エネルギー保存則が成り立つことをシミュレーターで理解しよう!

バネ運動と円運動の関係を理解しよう!

本サイトの「サイコロ シミュレーター」が熊本の特別教育テレビ授業で使われました!

斜面での摩擦力をシミュレーターを用いて考えてみよう!動き出す角度は?

電気回路 並列抵抗をシミュレーターで理解しよう!

力学 斜方投射の最適角度を考えてみよう!
 
全テーマ共通記事一覧

等速円運動を速度・加速度の変化をシミュレーターで観察して、理解を深めよう![物理入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

前回の記事で、等速円運動をx,y座標に分けて、定式化して解説しました。

今回は、そのx,yの式を使って、等速円運動の速度・加速度の式を微分を使って求めて行きます!

等速円運動を速度・加速度の変化をシミュレーターで観察して、理解を深めよう![物理入門]

おさらい:等速円運動のx座標はcos,y座標はsinで表現できる!

まず前回のおさらいからです。前回シミュレーターを交えて解説した通り、半径r/角速度wの等速円運動のx,y座標は↓のように計算できます。

等速円運動でのx,y座標

\( x \displaystyle = r \ cos(wt) \)
\( y \displaystyle = r \ sin(wt) \)
*初期角度はθ=0(rad)とする

  • r : 半径[m]
  • w : 角速度[rad/s]

↓の赤線がx座標、青線がy座標の動きです。このように角座標はcos/sinに従って動くんですね!

「速度」「加速度」を微分を使って求める!

円運動の速度の求め方

上記の式で、等速円運動のx,y座標が求まりました。以前の記事で解説したとおり、x,y座標の式が求まっていれば、それを微分することで速度が求まり、さらにもう一回微分すると加速度が求まります!この通りに求めていってみましょう。

再掲になりますが、x,y座標は↓のようになるので、、、これを微分します。

等速円運動でのx,y座標

\( x \displaystyle = r \ cos(wt) \)
\( y \displaystyle = r \ sin(wt) \)
*初期角度はθ=0(rad)とする

  • r : 半径[m]
  • w : 角速度[rad/s]

cos,sinの微分はコチラのシミュレーターで解説している通りで↓になります。

cos,sinの微分

\( (cos(x))’ = - sin(x) \)
\( (sin(x))’ = cos(x) \)

さらに、合成関数の微分を考えると、x=wtとすれば、\(\large{\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dt} \frac{dx}{dt}}\)なので↓のようになります。

cos,sinの微分

\( (cos(wt))’ = - w \ sin(wt) \)
\( (sin(wt))’ = w \ cos(wt) \)

これに半径rを乗算すれば、円運動の速度\(v_x,v_y\)が求まります!

円運動の速度

\( v_x = (r \ cos(wt))’ = - rw \ sin(wt) \)
\( v_y = (r \ sin(wt))’ = rw \ cos(wt) \)

角座標の速度は求まったので、最終的な速度の大きさを計算すると、↓のようにv=rwになります。角速度の定義通りの結果になりました!

円運動の速度の大きさ

\( v = \sqrt{{v_x}^2 + {v_y}^2} \)
\(= \sqrt{r^2w^2({sin(wt)}^2 + {cos(wt)}^2)} = rw \)

円運動の加速度の求め方

加速度についても、同じように\(v_x,v_y\)を微分すれば求まります。

速度は↓で表せるので。

円運動の速度

\( v_x = (r \ cos(wt))’ = - rw \ sin(wt) \)
\( v_y = (r \ sin(wt))’ = rw \ cos(wt) \)

これを同様に微分すると加速度(\(a_x,a_y\))は↓のようになります。

円運動の加速度

\( a_x = (- rw \ sin(wt))’ = - rw^2 \ cos(wt) \)
\( a_y = (rw \ cos(wt))’ = -rw^2 \ sin(wt) \)

ここで、\(x=r \ cos(wt)\)、\(y=r \ sin(wt)\)なのでこれを代入すると、、

円運動の加速度(別表現)

\( a_x = – rw^2 \ cos(wt) = -w^2 \ x \)
\( a_y = -rw^2 \ sin(wt)  =-w^2 \ y \)

となります。つまり、加速度はx,yの定数倍(\(-w^2\))になるんです!ただし、マイナスなのでx,yとは逆になります。

また。角座標の加速度は求まったので、最終的な加速度の大きさを計算すると、↓のようにa=\(rw^2\)になります。これも重要なので覚えておきましょう!

円運動の加速度の大きさ

\( a = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2} \)
\(= \sqrt{r^2w^4({cos(wt)}^2 + {sin(wt)}^2)} = rw^2 \)

 

POINT円運動の加速度はx,y座標に定数(\(-w^2\))かけた値になる!

等速円運動を速度・加速度シミュレーターで理解しよう!

上記のように微分を使って求めただけだと、イメージがわかないですよね。そのため、速度と加速度がわかるシミュレータを用意しました!

シミュレーターの説明
  • ↓のスライドバーで円の半径と角速度(rad/s)を自由に変更できます
  • シミュレーターの上で速度を青矢印加速度を赤矢印で示します
  • 入力を変えて、速度、加速度がどのように変わるのか観察しましょう

角速度w
0.5
半径r
7.0

経過時間 : 0.0

シミュレーター結果解説

↓の絵のように「速度は円の接線となる方向」となり、「加速度は中心に向かう方向」に向かいます。

そして、↑の考察の通り、角速度wが増加すると速度はw倍になり、角速度は\(w^2\)倍と急増します。

まとめ:円運動の速度・加速度は微分をしていくことで求められる!

上記の経過のとおり、円運動の速度、加速度は↓のx,y座標をもとに微分していくと↓のように求められます。

円運動の速度

\( v_x = (r \ cos(wt))’ = - rw \ sin(wt) \)
\( v_y = (r \ sin(wt))’ = rw \ cos(wt) \)

  • r : 半径[m]
  • w : 角速度[rad/s]
円運動の加速度

\( a_x = (- rw \ sin(wt))’ = - rw^2 \ cos(wt) \)
\( a_y = (rw \ cos(wt))’ = -rw^2 \ sin(wt) \)

また、↑の絵のように速度は接線方向に、加速度は中心に向かうようにかかることが重要です!

ただ、「なんで中心に加速度が発生しているの?別に中心に物体は移動していないのでは?」って直感的には思ってしまいますよね。そこで次回は、直感的に円運動の速度・加速度がわかるようなシミュレーターを使って直感的な理解を深めていこうと思います!
 

「円運動の速度/加速度」まとめ

  • 円運動の速度は、円の接戦方向となる
  • 円運動の加速度は、円の中心に向かう

 


⇒「円運動」カテゴリ記事一覧

その他関連カテゴリ




お気軽にコメントお願いします!

Your email address will not be published. Required fields are marked *




記事カテゴリ