合成関数の微分の概念・イメージをシミュレーションで理解しよう！[数学入門]

2021-04-22　

本記事では合成関数の微分について解説していきます。微分の基礎は、前回の記事でも説明しました。今回はその発展として、合成関数の場合にどのように微分するのかを解説します！
　
合成関数の微分は頻出する重大要素です。ただ公式を覚えるだけでなく、その意味やイメージを理解することがすごく重要なんです！

1 合成関数の微分公式
2 合成関数の微分の例
3 一般的な「合成関数の微分」の証明方法
4 合成関数の微分は、掛け算すればOK！そのイメージを理解しよう！
5 「合成関数の微分」をシミュレーターで理解しよう！
6 まとめ：合成関数の微分を使うと、微分が楽に！公式に当てはめるだけでなく、ちゃんとイメージを掴もう！

合成関数の微分公式

合成関数y=f(g(x))の微分について考える事にします。以後、f(x),g(x)ともに微分可能な関数という前提があるものとします。結論からいうと、合成関数の微分は↓のようになります。

合成関数の微分

$$ \large{ \{f(g(x))\}’=g'(x) \cdot f'(g(x)) }$$

これは2関数の合成関数があったら、g(x)とf(x)それぞれ別で微分して乗算すればよいことを示しています。

やや分かりにくいので別表現で示します。上の微分公式をdy,dtという記号で示したのが↓です。この表現では分かりやすくするためにt=g(x)と、中間変数tを用いて表現します。

合成関数の微分(別表現)

$t=g(x), y=f(t)とすると$
$$ \large{ \frac{dy}{dx}=　\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} }$$

つまり、元の$\frac{dy}{dx}$は、t=g(x)をxで微分したもの($\frac{dt}{dx}$)とy=f(t)をtで微分したもの($\frac{dy}{dt}$)を乗算すれば良いといっているわけです。

以後、この公式の証明と図解・シミュレーターを用いた解説をしていきます。

合成関数の微分の例

上記の解説だけでは難解なので、1つだけ例を解説しておきます。

[合成関数の微分例]
$y = (x^2 + x)^2$

このような複雑な関数でも

$y = f(g(x))$
$ y=f(t) = t^2$
$ t=g(x) = x^2 + x $

と表現すると

$\{ f(g(x)) \}’ $
$= g'(x) \cdot f'(g(x)) $
↓　g'(x)は普通に微分
$= (2x + 1) \cdot f'(g(x)) $
↓　f’(t)=2tであり、$t=g(x)=(x^2 + x)$のため…
$= (2x + 1) \cdot 2(x^2 + x) $

となります。$f'(g(x))$が複雑ですが、f(t)を微分して、そこにt=g(x)を代入するれば良いんですね！

一般的な「合成関数の微分」の証明方法

一般的な上記の合成関数の微分を証明する手順は↓の通りです。

$f'(g(x)) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(g(x+h)) – fg((x))}{h}$
↓f(x),g(x)の微分形式に近づける
$\displaystyle = \lim_{ h \to 0 } \frac{f(g(x+h)) – f(g((x))}{g(x+h) – g(x)} \cdot \frac{g(x+h) – g(x)}{h} $
↓ k = g(x+h) – g(x) ⇒ g(x+h)=g(x)+kとする
$\displaystyle = \lim_{ h \to 0 } \frac{f(g(x)+k) – f(g(x))}{k} \cdot \frac{g(x+h) – g(x)}{h} $

これを見ると後半の$\frac{g(x+h) – g(x)}{h}$は導関数g'(x)の定義そのものですね。前半部分はややこしいですが、t=g(x)とすると

$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(g(x)+k) – f(g(x))}{k} $
$\displaystyle = \lim_{ h \to 0 } \frac{f(t+k) – f(t)}{k} $
$\displaystyle = \lim_{ k \to 0 } \frac{f(t+k) – f(t)}{k} $

とできます。なぜなら、hが0に収束するならばk= g(x+h) – g(x)も0に収束するからです。これは、g(x)は微分可能→連続という前提があるからです。連続なら、hが小さくするとkも小さく出来るはずなんです。
なので、hが微小量になると、g(x+h)とg(x)の値も近づくため、kも0に収束するはずなんです。そのため、前半部分は導関数f’となるわけです。

なので、結局、$\{f(g(x))\}’=g'(x) \cdot f'(g(x))$が証明できるわけです。ただし、微分する地点はxでなくt=g(x)の地点であることに注意して下さい。