等速円運動をx,y座標の動きをシミュレーターで観察して、理解を深めよう！[物理入門]

2021-05-16　 円運動

前回の記事までで「角速度」について解説してきました。今回はそれを前提に「等速円運動をどのように方程式に落とせばよいか」を考えていきます。

そのために「円運動をx,y座標に分けて考える」ということが必要です！

等速円運動のx座標はcos、y座標はsinに従った動きをする！

等速円運動のx,y座標の動きをシミュレーターで観察してみよう！

円運動をx,y座標に分けて考えてみます。そのときにx,yがどのような動きをするかを↓のシミュレーターで確認してみましょう！

x座標はcos、y座標はsinに従った動きをする

シミュレーターでみると分かりやすいですが、x,y座標はそれぞれcos/sinの動きに従って動きます。

↓は縦軸の動きですが、まさにsinの動きと同じんですね！

そもそも、cos/sinの定義が「↓のような単位円でxがcos、yがsin」というものなので、これは当たり前のことなんです。

全体でみると物体は等速だが、x,y座標でみると加速・減速している！

もうひとつ重要なのが、「x,y座標でみると物体は加速・減速を繰り返している」ということです。

これは↓をみても自明です。重要なのは「等速円運動でも、方向を変えるために加速・減速を繰り返している」ということです。直線で等速運動するのと違って、等速円運動では方向を変えるために加速・減速するんです。

x,y座標を半径r、角速度wをつかって表現する

↑のシミュレーターの通り、円運動のx,y座標はcos/sinに従うことは分かりました。これを定式化してみましょう！

まず、時刻tでの角度θを求める必要があります。これは、t=0の角度をθ＝0とする前提にすると、↓のように求められます。1秒間でw(rad)回転するので、時刻t時点ではθ=wtになります。

これを前提に、半径rの円を考えるとx,y座標は↓のように定式化できます。半径r上の円であり、θ=wtのため、このように定式化できるのです！

シミュレーターで等速円運動のx,y座標の動きを観察しよう！

それでは実際にシミュレーターで「等速円運動のx,y座標」の動きを確認してみましょう！

↓赤線がx座標、青線がy座標

シミュレーター結果

シミュレーターを動かすと、↓のようにグラフ化されることがわかると思います。赤線がcos,青線がsinになっていることがわかりますね。

この振幅は半径rによってきまります。半径r=2にすると↓のように振幅が下がります。

また、円運動の回転数は角速度に比例します。角速度を2倍にすると↓のように、回転数が2倍となり、周期が半減します！

このように、x,y座標のグラフの形は半径rと角速度wで決まるんですね！

まとめ：等速円運動はx,y座標に分けて考えられる

上記の考察とシミュレーションの結果の通り、等速円運動は↓のように定式化できます。つまり、半径rと角速度wによってグラフの形が変わります。

等速円運動のx,y座標がこのように決まったので、これを微分していけば、円運動の速度と加速度が求められるはずです！ということで次回の記事では、「等速円運動時の速度・加速度」について考察していきます！
　

[関連記事] 等速円運動

1．弧度法・ラジアン

2．角速度

3．周期・回転数

4．円運動のx,y座標を求める(本記事)

5．円運動を速度・加速度(微分で求める)

6．円運動の速度・加速度を直感的に求める