「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2022-03-06　

複素数

このページでは複素数について、分かりやすく解説しています！
今回は「ド・モアブルの定理」をシミュレーターを用いて分かりやすく説明します！

「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

1 おさらい：虚数、複素数とは
2 ド・モアブルの定理
3 「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう！

おさらい：虚数、複素数とは

複素数とは

実数＋虚数の組み合わせを一つにしたものを複素数といいます。

複素数の定義

複素数 = 実数と虚数の組み合わせ

例えば「+1.9 + 2.9i」という形です。
複素数は↓のように二次元のグラフで表現します。これを複素数平面といいます。

複素数のもう一つの表し方：極形式

複素数はその他にも複素数を表すための方法があるんです。それが極形式になります！

極形式の定義

複素数を↓のように絶対値rと偏角(角度)θであらわしたもの
複素数z = \(r(cosθ + i \ sinθ)\)

コチラのページでも解説していますが、三角関数cosとsinを使えば、↑のように半径rと角度θで位置を表せるんですね。
また、複素数の場合はこの角度を偏角といいます！

複素数の乗算

↓のように二つの複素数 \(z_1\)と\(z_2\)の乗算を考えます。

\( z_1 = r_1(cosθ_1 +i \ sinθ_1)\)
\( z_2 = r_2(cosθ_2 +i \ sinθ_2)\)

加法定理を使うと↓のように計算できます

\( z_1z_2 \)
\( = r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+i \ sin(θ_1+θ_2)\}\)

つまり、複素数の乗算は「絶対値は乗算」「偏角は足し算」という演算になるんです！

具体的に\(z_1\)を赤色、\(z_2\)を青色として、乗算したものを緑色で示したのが↓になります。
絶対値(長さ)は掛け算されて、2.0*3.0＝6.0となります。
それに対して角度は100+40=140°と足し算なるんですね！

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理は↓の式が成り立つという定理です

ド・モアブルの定理

\((cosθ+ i \ sinθ)^n=cos(nθ)+ i \ sin(nθ)\)

これは、↑で解説した複素数の乗算を考えれば簡単です。絶対値=1なので↓のように定式化できます。

\( z = (cosθ +i \ sinθ)\)

これを帰納法で証します。

n=1が成り立つのは自明ですね。
次にn=kが成り立つとして、n=k+1のときを考えると

\( z^k*z = (cos(kθ) +i \ sin(kθ))*(cos(θ) +i \ sin(θ))\)
↓複素数の乗算は、偏角の足し算
\( z^{k+1} = (cos(kθ＋θ) +i \ sin(kθ+θ)) \)
\( = cos(k＋1)θ +i \ sin(k+1)θ \)

となるため、k+1の時も成り立ちます。
故に、↑のド・モアブルの定理は当たり前のように成り立ちます！

「ド・モアブルの定理」をシミュレーターで理解しよう！

それでは解説してきた、「複素数の乗算」をシミュレーターで確認してみましょう！↓の形でθとnを指定すると、n乗した複素数を表示します！

\( z = (cosθ +i \ sinθ)\)

シミュレーターの説明

複素数のθとnを指定すると、\(z^n\)を計算します
\(z\)を青色、そして乗算結果\(z^n\)は緑色で示しています

[極形式]
\(z^n\) = (cos()+i sin())

「ド・モアブルの定理」まとめ

絶対値1の複素数は、n乗するのはn倍回転するのに等しい

[関連記事] コンピューターでの小数の表し方

8．ド・モアブルの定理(本記事)

⇒「複素数」カテゴリ記事一覧

その他関連カテゴリ

学問系TOP AI/ChatGPT 数学物理統計学コンピューター経済学 Webツール