対数関数(log)の演算法則をシミュレーションで理解！[数学入門]

2020-04-21　

数学

前回記事で、対数関数(log)とは何かをシミュレーターを用いて説明しました。その中でも対数関数グラフの特徴や公式を説明しましたが、本記事ではそれに加えて、とても大事な対数関数の演算法則を説明していきます！

対数関数(log)をとると、掛け算だったものが足し算になったりします。パッと見では難しそうですが、意味を考えていけば十分に理解できる内容です！ここでもシミュレーターを用いて説明していきます！

1 対数関数の重要公式1：指数/対数の表記変換
2 対数関数の重要公式2：掛け算の分解
3 対数関数の重要公式3：割り算の分解
4 対数関数の重要公式4：指数の扱い
5 対数関数の重要公式5：底の変換
6 シミュレーションでM・Nのlogが足し算になることを理解しよう！

対数関数の重要公式1：指数/対数の表記変換

指数/対数の表記変換

$$ \large{ a^y = x ⇔ y = log_{a} x }$$

これは前回記事で説明したとおり、これが定義みたいなものですね。

対数関数の重要公式2：掛け算の分解

掛け算の分解

$$ \large{ log_{a} (M \cdot N) = log_{a} M + log_{a} N }$$

コチラの記事で書いた通り、任意の正数は$ a^b $というaを底にした指数形式で表すことができます。どんな正数もaの○乗という形で表記できるということです。そう考えた場合、MとNを

$ \normalsize{ M = a^m 　則ち　 m = log_{a} M }$
$ \normalsize{ N = a^n 　則ち　 n = log_{a} N }$

という表記にできるはず。こうした場合、M・Nは

$ M \cdot N = a^m \cdot a^n = a^{m+n} $

と表記できます。つまり、aをm+n回かけたものなんですね。元の指数同士の足し算です！

そのため、上記式に対してlogをとると

$ log_{a} (M \cdot N) = log_{a} a^{m+n} = m + n $$ = log_{a} M + log_{a} N $

と変形できます。つまり、M・Nという乗算式のlogは、log M と log　Nの足し算に分解できるということです。

対数関数の重要公式3：割り算の分解

割り算の分解

$$ \large{ log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M – log_{a} N }$$

こちらも上記の考え方と同じですね。割り算であっても$ \frac{M}{N} = M \cdot \frac{1}{N} $と表現できるので、

$ log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M + log_{a} \frac{1}{N} $$ = log_{a} M + log_{a} N^{-1} $

と書けます。そして、$ log_{a} N = n $とすれば、その逆数$ N^{-1} $のlogは-nになります。-1乗すれば逆数になるからです。ですので、単純に

$ log_{a} \frac{M}{N} = log_{a} M + log_{a} N^{-1} $$ = log_{a} M – log_{a} N $

となるわけです。

対数関数の重要公式4：指数の扱い

指数の扱い

$$ \large{ log_{a} M^r = r \cdot log_{a} M }$$

これは上記の乗算の考え方を応用すれば簡単です。M^rはMをr回かけたものですから、公式2のように乗算を分解すると、

$ log_{a} M^r = r個のlog_{a} M = r \cdot log_{a} $

のように表せます！

対数関数の重要公式5：底の変換

底の変換

$$ \large{log_{a} M = \frac{log_{b} M }{log_{b} a } }$$

これは底の変換と言われています。aが底だった式を、bが底の式に変換しているわけです。

$ \normalsize{ a = b^{A’} 　則ち　 A’ = log_{b} a }$
$ \normalsize{ M = b^{M’} 　則ち　 M’ = log_{b} M }$

とすると、$log_{a} M $は$\frac{M’}{A’} $と言えます。ならぜなら、bをA’回かけた数を、何乗すればbをM’回かけた数にできるか考えると、単純にその割り算になるからです。つまり、

$ \normalsize{ (b^{A’})^{\frac{M’}{A’}}=b^{M’} }$

となるため、$\frac{M’}{A’}$が求めるべき数です。ですので、最終的に

$ log_{a} M = \frac{M’}{A’} = \frac{log_{b} M }{log_{b} a } $

と変形できるわけです。

⇒ 底の数を何にするかの違いは、底同士の対数の逆数($\frac{1}{log_{b} a}$)倍になるだけの違いなんです。

底が変わったからって、関数グラフの形状が複雑に変化するわけではないです。関数グラフの形状は同じで、その倍率が違うだけなんですね！
　

POINT底の違いは何倍になるかの違いだけであり、グラフの形状は変わらない！

シミュレーションでM・Nのlogが足し算になることを理解しよう！

上記のように色々な法則を説明してきましたが、重要なのは乗算された数のlogをとると、logの足し算に分解できるという事です！この関係性をシミュレーションで理解しておきましょう！

↓計算結果

$ log_{2} M = $ 1

$ log_{2} N = $ 1

$ log_{2} M \cdot N = log_{2}$4 = 2

まとめ

対数内の掛け算はlogの足し算に、対数内の割り算はlogの引き算となる
log内の指数は、logの前に係数としてもってこれる
logの底の違いは何倍になるかの違いだけで、グラフ形状は変わらない

[関連記事] 数学入門：関数

9．対数関数(log)の演算法則(本記事)

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