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数学入門:集合のド・モルガンの法則をシミュレーターを用いて解説!

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数学の「ド・モルガンの法則」について解説していきます!

本カテゴリでは数学の「集合」と「命題」について解説していきます。集合とは「何らかの条件にあてはまる要素の集合」です。そして「命題」とも深く関わりがあります。日常生活とも密接に関係のあるお話になりますので、集合の基礎イメージを理解しておきましょう!
 
本サイトではシミュレーターを用いて「集合」「命題」のイメージをシミュレーターを用いて分かりやすく解説していきます!シミュレーターで実験して、その概念を深く理解して頂ければと思います!

今回は、前回までの集合の基礎の話「和集合」「積集合」を発展させた、「ド・モルガンの法則」という定義をシミュレーターを用いて解説していきます!

集合の基礎と補集合/和集合/積集合のおさらい

集合の基礎

まずは集合の基礎と和集合/積集合について再度おさらいです。集合とは以下のような「何らかの条件に当てはまる要素を集めたもの」です。

[集合の例]
「1以上10未満の整数」の集合:1,2,3,4,5,6,7,8,9
「空を飛べない鳥」の集合:ペンギン,ダチョウ,エミュー,ドードー,…

こういったように、「なんらかの条件がついた1つの集合と、それにあてはまる複数の要素」という関係になっており、数学記号で以下のように表します。

[集合Aが要素xを含む場合]
全体集合U内の要素xを集合Aが含む場合、
\( \large x \in A \)
と表す。

補集合のおさらい

補集合は、集合Aの反対をとった集合です。わかりやすくいうと、集合Aに含まれない要素を集めたのが補集合\(\overline{A}\)です。↓の図の赤い部分が補集合\(\overline{A}\)になります。

式にすると↓を満たします。集合Aが含まない要素を全て含んだ集合が補集合\(\overline{A}\)です。

\( x \notin A \Rightarrow x \in \overline{A} \)
\( x \in A \Rightarrow x \notin \overline{A} \)

和集合のおさらい

和集合は集合Aと集合Bを合わせた領域を示す集合です。図で見るとわかりやすく、コチラの例では↓赤背景で示した部分が和集合になります。

集合Aと集合Bの和集合は\(A \cup B\)という形式で表します。そして和集合の要素は下記のように、集合Aもしくは集合Bが含んでいることが条件になります。どちらの集合が含んでいればOKなんですね!

\( x \in A \cup B \Rightarrow x \in A もしくは x \in B \)

積集合のおさらい

積集合は集合Aと集合Bの共通領域を示す集合です。図で見るとわかりやすく、コチラの例では↓赤背景で示した部分が積集合になります。つまり、AとBの共通領域です。

集合Aと集合Bの積集合は\(A \cap B\)という形式で表します。そして積集合の要素は下記のように、集合Aと集合Bがともに含んでいることが条件になります。両方の集合が含んでいることが必要で、和集合より条件が厳しくなっています。

\( x \in A \cup B \Rightarrow x \in A かつ x \in B \)

ド・モルガンの法則とは?

それでは、ここからド・モルガンの法則について解説します。ド・モルガンの法則は以下の定理のことです。

ド・モルガンの法則

[法則1]
\( \large \overline{ A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \)

[法則2]
\( \large \overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)

以下この法則解説していきます!

ド・モルガンの法則1の解説

ちょっとこの式を見ただけだと分からないので解説していきます。まず法則1から。上線は補集合をとるという意味です。なのでこれは和集合\(A \cup B\)の補集合は、実は補集合\(\overline{A}\)と補集合\(\overline{B}\)の積集合と同一なんだよ!って定理です。わかりにくいので絵でみてみましょう。

和集合\(A \cup B\)

これに対して、補集合\(\overline{A}\)と補集合\(\overline{B}\)は以下の領域になります。

補集合\(\overline{A}\)

補集合\(\overline{B}\)

はい。ではこの補集合\(\overline{A}\)と補集合\(\overline{B}\)の共通領域(積集合)はどこかと考えると、、、↓ですよね!共通して赤色になっているのは集合A集合B両方の外側だけです!

\(\overline{A} \cap \overline{B}\)

そして、この絵は、、、上の\(A \cup B\)と真逆ですよね!つまり、これの補集合\(\overline{ A \cup B}\)と\(\overline{A} \cap \overline{B}\)は同一ということができます。

ですので、結局、↓が成り立つと言えるのです!

[法則1]
\( \large \overline{ A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \)

ド・モルガンの法則2の解説

次は法則2。これも同様にしていけば、式がなりたつことが言えます。

[法則2]
\( \large \overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)

これはつまり、積集合\(A \cap B\)の補集合は、実は保集合\(\overline{A}\)と補集合\(\overline{B}\)の和集合と同一なんだよ!って定理です。これも絵でみていきます。

積集合\(A \cap B\)

これに対して、補集合\(\overline{A}\)と補集合\(\overline{B}\)は先程の通りなので、その和集合だけ考えてみます。

\(\overline{A} \cup \overline{B}\)

そして、この絵は、、、上の\(A \cap B\)と真逆ですよね!つまり、これの補集合\(\overline{ A \cap B}\)と\(\overline{A} \cup \overline{B}\)は同一ということができます。

ですので、結局、再掲になりますが↓が成り立つと言えるのです!

[法則1]
\( \large \overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)

ド・モルガンの法則の意味。補集合をとる時は\( \cup \)と\( \cap \)を逆にすればOK!

さて、ここまでで↓のド・モルガンの法則を解説/証明してきたド・モルガンの法則ですが、どういった意味があるのでしょうか。

ド・モルガンの法則

[法則1]
\( \large \overline{ A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \)

[法則2]
\( \large \overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)

この意味は「和集合や積集合の補集合を考える時は、その符号を逆にすれば分解できる」ということです。

法則1の\(\overline{ A \cup B}\)は和集合の補集合を考える、、、という意味です。そしてこれは、\(\overline{A} \cap \overline{B} \)に出来ます。
法則2の\(\overline{ A \cap B}\)は積集合の補集合を考える、、、という意味です。そしてこれは、\(\overline{A} \cup \overline{B} \)に出来ます。

つまり、補集合をとるときは、符号を逆にすれば分解できる!ということなんです。\( \cup \)があったら\( \cap \)にしてA,Bの補集合を合わせればいいし、\( \cup \)だったら\( \cap \)にしてA.Bの補集合を合わせれば良い。それだけの話です。

ド・モルガンの法則があれば、何回補集合演算があっても分解して計算できますよーって意味なんですね!

ド・モルガンの法則をシミュレーターを使って理解しよう!

それでは、ここまでド・モルガンの法則を実際にシミュレーションで体感してみましょう!

↓のシミュレーターでは、A集合,B集合それぞれで、そのままの集合を選ぶか補集合を選ぶか選択できます。さらに演算子として\( \cup \)を選ぶか\( \cap \)を選ぶか選択できます。

選択していくと、最終的にその組み合わせの式が↓に表示され、その式を示す領域が自動的に図示されます!

色々選択変えてみて、1)選択した式がどのの領域になるのか確認、2)集合/演算子全て反対にすると真逆の領域が赤く塗られることを確認しましょう!

A集合
\(\large A\)  \(\large \overline{A}\) 

B集合
\(\large B\)  \(\large \overline{B}\) 

演算子
\(\large \cup \)  \(\large \cap \) 

[式]

上記シミュレーションの解説

ド・モルガンの法則は簡単にいうと、集合A,Bも演算子\( \cup \)\( \cap \)も反対にすれば、補集合(逆の領域)を示すようになるって意味です!ですので例えば、

に対して全て逆のほうを選択すると

と真逆の領域(補集合)を指し示すことになります。不思議ですが、常にこれが成り立ちます!色々実験してみてくださいませー(*^_^*)

次回は命題について解説していきます!

今回は集合の発展として、ド・モルガンの法則について解説しました!
ド・モルガンの法則は和集合や積集合が組み合わさっている時に、楽に補集合をとるための法則です。基本は上記の通り、「集合/演算子含めて逆にすればよいだけ」です。演算子\( \cup \)と\( \cap \)を逆にするというのがキーポイントです!
 
次回は集合から少し離れて、命題の基礎について解説していきます!命題は集合とは全く違うように思えますが、実は密接に関係しているんです!


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