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数学入門:「部分集合」の概念をシミュレーターを用いて解説!

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

数学の「部分集合」について解説していきます!

本カテゴリでは数学の「集合」と「命題」について解説していきます。集合とは「何らかの条件にあてはまる要素の集合」です。そして「命題」とも深く関わりがあります。日常生活とも密接に関係のあるお話になりますので、集合の基礎イメージを理解しておきましょう!
 
本サイトではシミュレーターを用いて「集合」「命題」のイメージをシミュレーターを用いて分かりやすく解説していきます!シミュレーターで実験して、その概念を深く理解して頂ければと思います!

今回は、前回の集合の基礎の話補集合の発展として、部分集合の概念についてシミュレーターを用いて解説していきます!

集合の基礎のおさらい

まずは集合の基礎について再度おさらいです。集合とは以下のような「何らかの条件に当てはまる要素を集めたもの」です。

[集合の例]
「1以上10未満の整数」の集合:1,2,3,4,5,6,7,8,9
「空を飛べない鳥」の集合:ペンギン,ダチョウ,エミュー,ドードー,…

こういったように、「なんらかの条件がついた1つの集合と、それにあてはまる複数の要素」という関係になっており、数学記号で以下のように表します。

[集合Aが要素xを含む場合]
全体集合U内の要素xを集合Aが含む場合、
\( \large x \in A \)
と表す。

「部分集合」とは、包含される集合のこと!

それでは今回の本題の「部分集合」について解説していきます。部分集合とは簡単にいうと「集合Aに包含される小さな集合B」のことです。

例でいうと↓のような感じです。この図は大きい円が集合A、小さい円が集合Bを表しています。つまり、改めて要素列挙すると

集合A={1,2,3,4}
集合B={2,3}

となっています。

つまり、集合Aのほうが要素が多く、さらに集合Bの要素2,3は全て集合Aに含まれています。こういった時に、集合Aは集合Bを包含しているため、集合Bは集合Aの部分集合と言えます。

「部分集合」の数学的定義

この部分集合、数学的な定義を書くと以下の通りになります。

部分集合の定義

任意の集合Bの要素x、つまり、
\( x \in B \)
を満たすx全てに対して、
\( x \in A \)
となる時、AはBの部分集合であるといい、
\( B \subset A \)
という記号でその関係を表す

はい。BがAの部分集合である場合は、\( B \subset A \)という記号でその関係を表します!こう書いた時点で、BはAより小さいということなんですね!

「部分集合」の注意点2つ!

↑の解説で部分集合とは何かを説明しましたが、2点だけ少し注意が必要なパターンがあるので説明しておきます。

注意点1:集合B=集合Aであっても、BはAの部分集合

これは直感に反することですが、もしも集合Bと集合Aが同じでも、BはAの部分集合となります。(同じとは、集合Aに含まれる要素と集合Bに含まれる要素が全て同じということです)

集合Aと集合Bが同じ時の例

これは、上記の定義に立ち返ればわかります。

[部分集合の定義(再掲)]

\( x \in B \)
を満たすx全てに対して、
\( x \in A \)
となる時、AはBの部分集合

これは集合Bと集合Aが同一の場合でも成り立ちまよね。Bの要素xを集合Aは余すことなく含んでいるので。ですので\( B \subset A \)となります。

で、逆にいうと\( A \subset B \)でもありますよね。同じ立場なんですから、AもBの部分集合なんです。

これをまとめると、以下のようなことが言えます。

[集合AとBが同じ互い⇔に部分集合の関係]
\( A \subset B かつ B \subset A ⇔ A=B
\)

直感的にいうと、、、AがBを包含していて、BがAが包含しているなら、それはもうAとBは同じってことでしょう!ってことですね(^o^)

注意点2:空集合も部分集合に入る

これもかなり直感と食い違うことですよね。もし集合Bが空集合であっても、集合Aの部分集合と言えます。

集合Bが空集合の場合

これも定義に立ち返ってみましょう。

[部分集合の定義(再掲)]

\( x \in B \)
を満たすx全てに対して、
\( x \in A \)
となる時、AはBの部分集合

はい。で、今\( B = 空集合\emptyset \)であり、\( x \in B \)を満たすxはありません。ですので、どんな集合Aであれこの条件を満たすのです!ですので、

空集合の性質1

空集合\( \emptyset \)は任意の集合の部分集合となる

と言えます。さらに空集合自体も集合の一種なので、

空集合の性質2

空集合\( \emptyset \)自体も部分集合\( \emptyset \)を持つ

と言えます。空が空を持つってどういうこと??って思いますが、数学的な定義としては正しいと言えるのです(*^_^*)

シミュレーターで「部分集合」の関係を理解しよう!

ここで部分集合の概念のイメージをつけるためにシミュレーターで確認してみましょう!

コチラのシミュレーターでは集合Aに入る要素と集合Bに入る要素を、チェックボックスで選択することが出来ます。チェックボックスのON/OFFを切り替えると、↓の図に集合Aと集合Bの関係が反映されて表示されます。簡単のため、全体集合U={1~9の自然数}の条件で図示しています。その中でAにもBにも入らない要素は、左上に列挙されます。

赤背景で示された場合、その集合が部分集合になっているという意味です。 もちろん上記の通り、集合A=集合Bのときにも赤く表示されるし、集合Bが空集合のときにも赤く表示されます。

色々、要素を切り替えて、集合Aと集合Bがどういったときに部分集合になるのか確かめてみましょう!
集合A要素の選択
1 2 3 4 5 6 7 8 9
集合B要素の選択
1 2 3 4 5 6 7 8 9

次回は和集合・積集合について解説していきます!

今回は前回の発展として部分集合について解説しました!部分集合は、「集合Aに包含される集合B」という関係を示す言葉です。基本的には集合Bは集合Aよりも小さいはずですが、その定義から集合Bが空集合となることもあるし、集合B=集合Aのときもあることに注意して下さい。
 
次回は2つの集合の関係を考える時に重要な、「和集合/積集合」についてシミュレーターを用いて解説していきます!


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