空集合)をシミュレーターを用いて解説！[数学入門]

2020-07-12　

本記事から数学の「集合」と「命題」について解説していきます。集合とは「何らかの条件にあてはまる要素の集合」です。そして「命題」とも深く関わりがあります。日常生活とも密接に関係のあるお話になりますので、集合の基礎イメージを理解しておきましょう！
　
シミュレーターで実験して、その概念を深く理解して頂ければと思います！
集合の基礎(集合/全体集合/空集合)をシミュレーターを用いて解説！[数学入門]

1 集合とは
- 1.1 集合の例をみていこう！
- 1.2 補足：集合には「無限集合」「有限集合」がある！
2 全体集合とは
3 集合記号を理解しよう！
4 「nの倍数の集合」シミュレーターで「集合」を理解しよう！
5 「空集合」の概念を理解しておこう！
6 まとめ：集合＝何かしらの条件にあてはまる要素の集まり

集合とは

集合とは「要素の集まり」です。特に数学では「何らかの条件に当てはまる要素を集めたもの」が集合になります。言葉だけだと非常に分かりにくいので例で考えてみましょう！

↓は「偶数」という条件に当てはまる集合の例です！

○「偶数」の集合の例

青背景の中にあるのが要素で、枠がこの集合を表しています。枠内を見ると、「2,4,6,8,…」と偶数の数字が集まっていますよね。これがそれぞれ要素です。このように特定の条件を満たすものを「集合」といいます。

集合の例をみていこう！

集合のイメージをつけるために、いくつかの集合の例を見ていきましょう！集合は数字だけの話ではないのです！
　

[集合の例]
「1以上10未満の整数」の集合：1,2,3,4,5,6,7,8,9
「空を飛べない鳥」の集合：ペンギン,ダチョウ,エミュー,ドードー,…
「アジアの国」の集合：日本,韓国,中国,モンゴル,…
「\(x^2 < 4\)を満たす数」の集合：\(-2 < x < +2\)

↑の例のように、集合は数字だけのものでは有りません。「飛べない鳥」「アジアの国」など、言葉や概念の集合もあります。もちろん、「1以上10未満の整数」といったような数学的な集合もあります。
　
注意すべきは「\(x^2 ＜ 4\)を満たす数」です。これは\(-2 ＜ x ＜ +2\)が要素になりますが、、、-2～+2内の実数全てが当てはまることになります。例えば、1.117とか-0.29とか。無限にあるわけで。つまり、要素が数えられるとは限らない場合もあるのです！

補足：集合には「無限集合」「有限集合」がある！

これは補足になりますが、集合には「無限集合」「有限集合」があります。↑の「偶数全体」の例は無限集合です。なぜなら、偶数は無限にあるからです。無限集合は要素の数が決められないのです。例えば、222222…とか。それに対して、「1以上10未満の整数」「アジアの国」等は有限集合ですよね。必ず数は決まっており、要素数を決定できるはずなので(*^^*)
　
また、「\(x^2 ＜ 4\)を満たす数」も無限集合ですよね。要素数が決まらないので。完全に補足になりますが、実は「偶数全体」と「\(x^2 ＜ 4\)を満たす数」は本当はレベルが違います。ここでは詳しくは述べませんが、自然数での無限と実数での無限でレベルの差があるのです＞＜ (可算無限と非可算無限）

全体集合とは

もう一つ、大事な概念「全体集合」の説明を先にしておきます。全体集合とは「考えている考えている対象全体」のことです。分かりにくいので例を見てみましょう！

[全体の例]
全体集合「自然数」：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…
全体集合「鳥」：スズメ、ペンギン,ニワトリ,フクロウ…
全体集合「動物」：人間,スズメ,シャチ,マグロ,…
全体集合「1以上10未満の自然数」：1,2,3,4,5,6,7,8,9

こんな感じです。基本的には、全体集合も集合の一種であり、考え方は同じです。有限集合のときもあるし、無限集合のときもあります。
ただ、全体集合を決めることで、考えている範囲をちゃんと定義するってことが重要なんですね！例えば、「飛べない鳥」の集合を考えているときでも、「鳥」を全体集合にとるか、「動物」を全体集合ととるかで考え方が変わってくるので(*^_^*)

全体集合は

全体集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

といったように、Uという記号で表される事が多いです。