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バネ運動時のエネルギー保存則をシミュレーションで理解しよう![物理入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

「バネ運動時のエネルギー保存則」をシミュレーターで確認しよう!

前回までの記事で、バネによってどのような力が発生するかの解説をしました。

今回はそのバネによる運動時のエネルギー保存則について考えていきます!

おさらい:バネによる力の法則

まずはおさらいです。バネの力は↓のような力が働きます。

バネの力

バネによる力 \(F = -kx\)
xは自然長からの変位、kはバネ定数

↓バネからの変位によって縮まる力・押す力が決まります。

↓自然長からの変位が2倍になると、力が2倍になります。これがバネによって働く力なんです!

バネ運動時のエネルギー保存則

上記のような力が発生する場合にどのようなエネルギー保存則が成り立つか考えていきます。

今、運動エネルギーを\(U_v\)、バネによるエネルギーを\(U_e\)と出来るなら、↓のような関係がみたせるはずです。

バネによる仕事量

\( \displaystyle U_v + U_e = 不変 \)
↓微分
\( \displaystyle ⊿U_v + ⊿U_e = 0 \)
↓変形
\( \displaystyle ⊿U_v = – ⊿U_e \)

つまり、運動エネルギーの運動前後の変化が、バネエネルギーの増減と逆になるはず。

そして、コチラのページで解説している通り、運動エネルギーU_v=\(\frac{1}{2}mv^2\)の変化はかかった力Fをxで積分した値と等しいです。

物理エネルギー保存則

\( \displaystyle ⊿U_v = \int F dx \)

つまり、バネエネルギーは↓のように、「バネによる力F」をxで積分してマイナスすれば求められるはずなんです!

バネエネルギー

\( \displaystyle ⊿U_e = - \int バネによる力F dx \)

これにF=kxを代入すれば、↓のように求められ、

バネエネルギーを求める

\( \displaystyle ⊿U_e = - \int F dx \)
↓バネの力F=-kxを代入
\( \displaystyle = \int kx \ dx \)

さらにこれを積分すれば、バネ定数k、自然長からの距離xのバネのエネルギーは↓となります。これをバネによる弾性エネルギーと呼びます!

バネの弾性エネルギ

\( \displaystyle U_e= \frac{1}{2}kx^2 \)

シミュレーターで「バネによるエネルギーの保存則」を確認しよう!

それでは上で説明した「バネによる弾性エネルギー」の保存則をシミュレーターで実際に確認しましょう!

[シミュレーターの説明]
  • スライドバーによって変位x,バネ定数k,物体の質量mが変えられます
  • 指定した設定を初期値として、物体がバネの力で振動を開始します
  • 同時にバネによる弾性エネルギーと運動エネルギーをグラフに図示します
  • エネルギー全体が変わらず、保存則が成り立つことを確認しましょう
  • エネルギー総量がバネ定数に比例し、変位xの二乗に比例することを確認しましょう

変位x
5.0
バネ定数
5.0
質量m
5.0

経過時間 : 0.0
物体の速度 : 0.0 m/s


弾性エネルギーを緑色,運動エネルギーを赤色で示しています

再生速度
1.0
↑動的に再生速度を変えられます。左端で0にすると、一時停止となります。

シミュレーター結果の解説

シミュレーターで↓のようなことがわかると思います。

バネ振動の両端では全てバネ弾性エネルギーとなる

バネの両端では物体が一時的に停止するので速度v=0となり、全て弾性エネルギーに変わります。

振動の中心(自然長)では、全て運動エネルギーに変わる

上記の端とは逆で、物体が真ん中にくると弾性エネルギーはx=0なので0になります。その分、運動エネルギーが最大になるわけです。

バネ振動で、弾性エネルギーと運動エネルギーの変換が繰り返される

バネ振動では上記の2パターンを永遠と繰り返すような動作になります。「弾性エネルギー→運動エネルギー→弾性エネルギー…」と繰り返します。

摩擦がない限り、このように永遠とエネルギーの変換を繰り返し続けるんですね!

次回は、位置エネルギーも含めた3種のエネルギー保存則について考えてみたいと思います!

[関連記事] バネによる運動
5.バネ運動時のエネルギー保存則(本記事)

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⇒「運動エネルギー」カテゴリ記事一覧

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