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「偏ったサイコロの合計値」が正規分布に近づくことをシミュレーターで確認しよう![中心極限定理]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

コチラのページにあるサイコロシミュレーター、色々な方に使って頂いて有難いです(o_ _)o
前回は「サイコロの合計値の分布」が、試行回数が増えてくると必ず釣鐘型の「正規分布」に近づくというお話をしました。

今回は、その発展で「偏ったサイコロ」の場合でも成り立つことを確認してみます!

「偏ったサイコロの合計値」が正規分布に近づくことをシミュレーターで確認しよう![中心極限定理]

おさらい:「サイコロを〇回振った時の合計」はどうなる?

サイコロを〇回振った時の合計が、どのような確率分布になるかを考察していきます。

1回振った時の確率分布

これは簡単で↓のようになります。確率分布とは、「各値になる確率は何%か」をグラフにしたものです。合計すると100%になります。

1回の場合は純粋に、全ての目が同じ確率=1/6=16.666…%になります。ですので、↓のような確率分布になるわけです!

2回振った時の確率分布

2回になると少し状況が変わってきて、↓のようなグラフになります。

なぜならば(1回目,2回目)という書き方をすると↓のように階段状になるからです!

合計値の分布

2:(1,1)
3:(1,2),(2,1)
4:(1,3),(2,2),(3,1)
5:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
6:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
7:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
8:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
9:(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)
10:(4,6),(5,5),(6,4)
11:(5,6),(6,5)
12:(6,6)

この試行を3回目、4回目と繰り返していくと、、、↓のようになります。

[3回目]

[4回目]

これは「正規分布」と呼ばれる、統計学で一番重要な分布です!

なぜならば、↓のような重大法則があるからです。

中心極限定理(概要)

どんな確率分布のグラフでも、それを試行する回数を多くするとその平均(合計)は正規分布に近づいていく

今回は「偏ったサイコロ」でこの定理を確認してみます!

「サイコロを〇回振った時の合計」分布をシミュレーターで見てみよう!

それではさっそくシミュレーターを使ってみましょう!

サイコロ出目の指定方法

今回のシミュレーターは、「サイコロの各目の出る比」を指定できます。

例えば、サイコロの出る目の比を「1:0:3:1:1:4」にすると↓のようになります。指定した比で1~6の目が出るわけです。

↑の通り、0にすると確率0になり、その目が出なくなります。
このように、今回のシミュレーターでは自由にサイコロの目を偏らせることが出来ます!

「偏ったサイコロの合計値」シミュレーター

シミュレーターの説明
  • ↑の説明の通り、「1~6の目」の出る比率を↓で指定できます。0にすると一切その目は出ないという意味です
  • 振る回数を選択すると、「その回数サイコロを振った時の合計値」の確率分布が表示されます
  • 回数が多くなっていくと、ほぼ同じ形の分布になっていく事を確認しましょう!
  • グラフの縮尺は、観察しやすいように自動で調整されるので、注意して下さい

* サイコロは指定回数振った一例を表示しています。
 

1の目
1
2の目
1
3の目
1
4の目
1
5の目
1
6の目
1
振る回数
1


 

シミュレーター結果

シミュレーターでどのように分布を変えても、50回試行と回数を増やすと、正規分布に近づいていくことが分かると思います!

例として↓のように極端に偏ったサイコロの場合を見てみます。

[4回目] まだすごく偏ってますね

[8回目] 少し近づいてきました

[15回目] 結構、釣鐘型の正規分布に近づいてきて、、、

[30回目] ほぼ正規分布ですが、やや左右で偏りあります

[50回目] 微小量偏りありますが、ほぼ正規分布ですね!

このように、どんなに偏っていても、最終的には正規分布の形に収束していきます。回数を重ねることで、分布が緩やかに混ざり合っていき、最終的に釣鐘型の正規分布になるイメージです!

詳しい証明などは別記事でいつか説明するつもりですが、↓の定理が成り立つことをイメージとして今回のシミュレーターで捉えておきましょう!

中心極限定理(概要)

どんな確率分布のグラフでも、それを試行する回数を多くするとその平均(合計)は正規分布に近づいていく

 

「偏ったサイコロの合計値分布」まとめ

  • どんなに偏った出目でもサイコロを振る回数を増やしていくと、釣鐘状の「正規分布」に近づく
  • これは中心極限定理という重大な統計の法則によるもの

まとめ動画


 


 


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