「複素数の乗算」をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2022-03-06　

複素数

このページでは複素数について、分かりやすく解説しています！
今回は「複素数の乗算」をシミュレーターを用いて分かりやすく説明します！

「複素数の乗算」をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

1 おさらい：虚数、複素数とは
- 1.1 複素数とは
- 1.2 複素数のもう一つの表し方：極形式
2 複素数の乗算
3 「複素数の乗算」をシミュレーターで理解しよう！

おさらい：虚数、複素数とは

複素数とは

実数＋虚数の組み合わせを一つにしたものを複素数といいます。

複素数の定義

複素数 = 実数と虚数の組み合わせ

例えば「+1.9 + 2.9i」という形です。
複素数は↓のように二次元のグラフで表現します。これを複素数平面といいます。

複素数のもう一つの表し方：極形式

複素数はその他にも複素数を表すための方法があるんです。それが極形式になります！

極形式の定義

複素数を↓のように絶対値rと偏角(角度)θであらわしたもの
複素数z = $r(cosθ + i \ sinθ)$

コチラのページでも解説していますが、三角関数cosとsinを使えば、↑のように半径rと角度θで位置を表せるんですね。
また、複素数の場合はこの角度を偏角といいます！

例えばr=7,θ＝30°だった場合は↓のようになります。

複素数の乗算

複素数の演算は極形式で考えるとわかりやすいです。

ここで↓のように二つの複素数 $z_1$と$z_2$の乗算を考えます。

$ z_1 = r_1(cosθ_1 +i \ sinθ_1)$
$ z_2 = r_2(cosθ_2 +i \ sinθ_2)$

すると↓のように計算できます

$ z_1z_2 = r_1(cosθ_1 +i \ sinθ_1)r_2(cosθ_2 +i \ sinθ_2)$
$ = r_1r_2(cosθ_1 +i \ sinθ_1)(cosθ_2 +i \ sinθ_2)$
↓cos,sin部分を掛け合わせ
$ = r_1r_2(cosθ_1cosθ_2 +i \ sinθ_1cosθ_2 $
　　　$ + i \ cosθ_1sinθ_2 -sinθ_1sinθ_2)$
↓実数、虚数ごとでまとめる
$=r_1r_2\{(cosθ_1cosθ_2 -sinθ_1sinθ_2)$
　　　$+i(sinθ_1cosθ_2 + cosθ_1sinθ_2)\}$

ここで重要になるのが加法定理です。α=$θ_1$,β=$θ_2$とすると、cosが実数部分、sinが虚数部分にあてはまっているのがわかると思います。

加法定理(足し算)

$$ \displaystyle cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ $$ $$ \displaystyle sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ $$

故に、加法定理を適応すると↓のようになります。

$ z_1z_2 $
$=r_1r_2\{(cosθ_1cosθ_2 -sinθ_1sinθ_2)$
　　　$+i(sinθ_1cosθ_2 + cosθ_1sinθ_2)\}$
↓加法定理適応
$ = r_1r_2\{cos(θ_1+θ_2)+i \ sin(θ_1+θ_2)\}$

つまり、複素数の乗算は「絶対値は乗算」「偏角は足し算」という演算になるんです！

具体的に$z_1$を赤色、$z_2$を青色として、乗算したものを緑色で示したのが↓になります。
絶対値(長さ)は掛け算されて、2.0*3.0＝6.0となります。
それに対して角度は100+40=140°と足し算なるんですね！