積分の意味をシミュレーターで理解しよう！積分は「lim Σf(x)*⊿x」と考えられる！[数学入門]

2021-05-06　

積分

前回の記事までで、積分の基本的な考え方について説明しました。「積分は微分の逆演算」という定義で、積分の考え方を解説しました。

しかし、その他にも積分の考え方・見方があるんです！今回は「接線の傾きをかき集める」という考え方を、シミュレーターを用いて示していきたいと思います！

積分の意味をシミュレーターで理解しよう！積分は「lim Σf(x)*⊿x」と考えられる！[数学入門]

1 「微分値は原始関数の接線の傾き」これを利用して、関数の近似を求める
- 1.1 原始関数F(x)の接線の傾きがf(x)となる
- 1.2 関数F(x)の増加分の近似を考える
2 定積分を近似してみる
3 定積分シミュレーター！定積分のイメージを「Σf(x)*⊿x」という観点で、理解しよう！
4 積分を「lim Σf(x)*⊿x」というイメージで考えられるようにしよう！

「微分値は原始関数の接線の傾き」これを利用して、関数の近似を求める

原始関数F(x)の接線の傾きがf(x)となる

積分の意味は、「微分と逆演算をして、f(x)の原始関数F(x)を求める」です。逆にいうと、「求めようとしている原始関数は、微分するとf(x)になる」んです。これまでも解説してきたとおり、f(x)はF(x)の接線の傾きの値となるんです。

関数F(x)の増加分の近似を考える

ここで、「関数の接線の傾き」と「関数の値」の関係を考えます。実は、十分に小さい⊿xをもってくると、↓の式が成り立つんです。

接線による近似

⊿y＝F(x+⊿x) – F(x) ≒ f(x)*⊿x

これは、こちらの合成関数の微分で示した考え方です。

↓大きな視点でみると関数(赤線)と接線(緑線)は大きくズレていますが、、

↓⊿xとミクロな世界でみると、接線と関数はほぼ重なりあっています。これは微分可能な関数が連続であるという性質から、必ずこうなります。

ここで、↓のように接線に合わせて⊿xと⊿yを定義することを考えます。

すると、「接線の傾き=F'(x)=f(x)」なので↓の公式が成り立ちます。xが⊿xだけプラスされた時、⊿y=傾き*⊿xだけ伸びるんですね。

\( ⊿y = f(x)*⊿x\)

これが十分小さい⊿xで関数F(x)の伸びと同値になるので、↓の近似が成り立つわけです！

接線による近似

⊿y＝F(x+⊿x) – F(x) ≒ F'(x)*⊿x

定積分を近似してみる

積分をシグマ形式で表す

それでは次に、定積分の近似を考えてみます。↓のようにx=α～βの定積分を考えます。

求める式

\( \displaystyle \int_α^β f(x) dx\)

上記の「⊿xで細かく分割する」という考え方を適用することを考えます。αからβを細かく分割することを考えます。すると、

\( \displaystyle \int_α^β f(x) dx\)
\( ≒ f(α)*⊿x + f(α+⊿x)*⊿x + \)
\( 　f(α+2⊿x)*⊿x + … + f(β)*⊿x\)
\( \displaystyle ＝ \sum_{x=α}^β f(x)*⊿x\)

というように、⊿xで小さく分割することで、積分をシグマの形式で表すことができるのです！

極限をとって、積分と同値にする

上記の式はあくまで近似です。しかし⊿xを無限に小さくしていくと、f(x)と同値になるんです！

積分のシグマ表現

\( \displaystyle \int_α^β f(x) dx\)
\( \displaystyle ＝ \lim_{ ⊿x \to 0 } \sum_{x=α}^β f(x)*⊿x\)

このように考えると、積分というのは「xを⊿xと細かく区切って、f(x)と乗算して総和をとる演算」とも言えるんです！ただし、⊿xは無限に0に近づける必要があるので、そこは注意です。

補足：積分区間をn等分すると考える

上記のように、積分はシグマ形式で表すことができます。↑では⊿xで分割しましたが、もっとわかりやすく「α～βをn等分して足していく」と考えます。⊿x=\(\frac{β – α}{n}\)として、nを無限に大きくしていくことを考えます。すると、↓の形式で表すことができます。

区分求積法での表現

\( \displaystyle \int_α^β f(x) dx\)
\( \displaystyle ＝ \lim_{ n \to ∞ } \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)*\frac{β – α}{n}\)
　* \( x_k = α + (β – α)*\frac{k}{n} \)

これは、別記事で説明しますが、区分求積法という表現になります！！↓のシミュレーターではこの結果を用います！

定積分シミュレーター！定積分のイメージを「Σf(x)*⊿x」という観点で、理解しよう！

シミュレーターの説明

上記で説明した積分をシグマで計算するイメージを、シミュレーターで確認してみましょう！「⊿y=f(x)*⊿x」を毎回計算して、足し合わせるイメージです。

\( f(x)= { ax^2 + b x + c } \)

の各パラメタa~cを↓のスライドバーで変更すると、それを積分して原始関数F(x)が計算されます。また、シミュレーター上でそのF(x)の形状がグラフ化され、定積分の値が出力されます。

今回はそれと同時に、x=α～β区間をn等分して、「⊿y=f(x)*⊿x」を計算します。そして、「接線から計算した⊿yと実際のF(x+⊿x) -F(x)との差分」を↓のように紺色で図示します。紺色の縦線が小さいほど、実際のF(x+⊿x) -F(x)と誤差が少なく、F(x)の近似に近いといえます。