順列(P記号)をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2020-06-16　

この記事では、前回記事に続いて数学の基礎の「順列(並び順)」について解説していきます。今回は「n個のクジから、r個引くパターン」について、シミュレーターを用いて考察していきます。

そして、そのパターン数を表すP記号について、詳しく解説していきます！

1 「n個のクジから、r個引くパターン」をクジ引きの例で理解しよう！
2 順列(並び順)全パターン出力シミュレーターで、理解しよう！
3 パターン数が\({}_n P_r\)となるのは、パターンを考えれば分かります！

「n個のクジから、r個引くパターン」をクジ引きの例で理解しよう！

前回の記事では、n個のクジ全てを使って順列を作るパターンを考えていました。今回はそこから少し一般化して「n個のクジから、r個引くパターン」を考えてみます。n個全てを引くわけでなく、r個だけ引く場合を考えます。まず、この問題を表現したクジのシミュレーターでイメージつけましょう！

シミュレーターの説明

総数(n)と引く個数(r)を変えると、クジがランダムで引かれ、数列が作られます

　
数列が作られるパターンを観察しましょう！

総数

個数

前回の例とは違って、全部引かれるわけではないです（総数n＝個数rにしたら、前回と同じです）

このような「n個のクジから、r個引くパターン」で、パターン総数を以下求めていきます！

順列(並び順)全パターン出力シミュレーターで、理解しよう！

上記で説明したn個のクジから、r個のクジを引くパターンで、どれだけのパターン数があるかシミュレーターでまずは見てみましょう！

シミュレーターの説明

↓の総数(n)と引く個数(r)を変更すると、その個数での順列パターンを全て列挙していきます
青色数字は前数列から変化があった範囲、灰色数字は前数列と変わらない範囲を示しています
個数が6以上になると、列挙に時間かかるので注意して下さい

　
色々数字を変えて、実験してみましょう！
*

総数

個数

[順列パターン数]
…

上記のシミュレーターのように、順列のパターン数は総数(n)と引く個数(r)によって決まります。
結論から言うと、そのパターンの数は

[総数nからr個引くパターン数]
\( {}_n P_r = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n – r + 1) \)

通りになります。これを数学では\({}_n P_r \)という記号で表します。

具体例でいうと、総数n=9,個数r=3の場合は

\( {}_9 P_3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 \)

通りになります。

パターン数が\({}_n P_r\)となるのは、パターンを考えれば分かります！

上記の通り、総数n個からr個引く順列の総パターン数は\({}_n P_r\)となります。これは上のシミュレーターでパターンを見れば分かると思います。

簡単に今、総数n=4から個数r=3個引く場合を考えます。この時、列挙されるパターンは以下の図のように区分できます。

まず赤線で囲った第一列目は、1,2,3,4の4パターンの値がきます（省略していて全部図示できてませんが）。各パターン場合分けをして考えます。次に第二列目を考えると、図の緑線の区分のように1列目の数字以外の3パターン(1列目が1の場合、それ以外の2,3,4)になるはず。さらに、3列目のパターンをみていくと、それぞれで1列目と2列目以外の数字の2パターンとなります。

つまり、全部で

\( 4(1列目パターン) × 3(2列目パターン) × 2(1列目パターン) = 24 \)

パターンあるのが分かります。

総数nから個数rを引いていくと、1列目からn,n-1,n-2…と1つずつパターン数が減っていくわけですね！なので、繰り返しになりますが、全てのパターン数は

[総数nからr個引くパターン数]
\( {}_n P_r = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n – r + 1) \)

と表せるわけです！
　

まとめ