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組み合わせ(C記号)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

この記事では、順列の発展型である「組み合わせ」という考えか方を説明していきます。前回記事では、「n個のクジから、r個を引く順列パターン」について解説しました。

今回は「n個のクジから、r個を引く組み合わせのパターン」について考えていきます。似ていますが、この違いは大きいです。
 
この違いをシミュレーターを用いて解説していきます!
組み合わせ(C記号)をシミュレーターで理解しよう![数学入門]

「n個のクジから、r個引く順列パターン」と「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」の違いを理解しよう!

n個のクジから、r個引く順列パターン

まずは、前回記事で説明した「n個のクジから、r個を引く順列パターン」をおさらいしておきます。

下図は「9個のクジから、3個を引く順列パターン」の例です。3個引くものを順列と見なし、総計何パターンあるかを考えたのが前回でした。順列とみなすので、「引いた順序を区別する」という点が重要です。

そしてその総数は、

[総数nからr個引くパターン数]
\( {}_n P_r = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n – r + 1) \)

であることを前回記事で示しました。

n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)

上記のパターンに対して、今回考えるのが「「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」」です。似ていますが、違います。「r個選ぶ」なので引いたものの順番は関係ないんです。

例として、「7,2,3」という組み合わせを考えます。そうしたときに下図の6パターンは全て同一と見なせます。順番が違うだけで、結局「2と3と7を選ぶ」という点では全て同じになるからです

「順列」と「組み合わせ」の違いは、順番を区別するかどうか

上記のように考えると、その違いは簡単です。「n個のクジから、r個引く順列パターン」は順列を考えるため、引いたクジの順番も重要であり区別します。それに対して「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」は順番は関係なく、最終的に何を引いたかのみ着目します。
 
例えば↓の例の場合、

「順列」で考えた場合:順序が全て違う → 6パターン
「組み合わせ」で考えた場合:全て同じ組み合わせ → 1パターン

となります!これが「順序」と「組み合わせ」の違いです。

↓まとめると、こんな関係性になります。

「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」のパターン数を考える!

「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」のパターン数を考えてみます。

前回記事の通り、順列と見なした場合は

[総数nからr個引くパターン数]
\( {}_n P_r = n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n – r + 1) \)

パターンありました。これに対して、今回考える組み合わせ数は

[総数nからr個引く組み合わせ数]
\( \displaystyle {}_n C_r = \frac{n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n – r + 1)}{ r! } \)

で表せます。この組み合わせパターン数を数学では\({}_n C_r\)と表します。

この理由は、「組み合わせの場合は、選んだ個数rで作られる順列パターン数r!だけ重複する」からです。例えば、r=3の場合、先程からの例のように↓ 3!=6パターン重複します。ですので、順番を考慮したパターン数\( {}_n P_r \)を3!で割ると、求めたい組み合わせ数になるわけです。

選んだ個数がrであるので、その順列パターン数であるr!で割る。これが「順列\({}_n P_r\)」と「組み合わせ\({}_n C_r\)」の違いです!ややこしいですが、キチンと区別して理解しましょう!

シミュレーターで「順列」と「組み合わせ」の違い、重複度を理解しよう!

おさらいとして、総数(n)から個数(r)のクジを引くシミュレーターをつくってみました!さらに引いた後に、引いた順列に対して重複する順列パターンを列挙するようになっています。その重複数が、r!になることを確認しましょう!
 
列挙された数列は、順列では別々に数えられますが、組み合わせでは同一とみなされます。選んだ個数rが大きいほど、重複する数が多くなり、「順列」と「組み合わせ」の差が大きくなることを理解しましょう!

シミュレーターの説明
  • 総数(n)と引く個数(r)を変えると、クジがランダムで引かれ、数列が作られます
  • その後組み合わせ的に重複となるパターンが列挙されます

値を変更して実行してみましょう!

総数
9

個数
3

[順列パターン数]

[組合わせ重複数]

[組み合わせパターン数]

 
 

結果の解説:総数n=9,引くクジ数r=3の場合

↓総数n=9,引く数r=3の場合の結果です。↓の通り3!=6だけ重複したパターンがあります。そのため結局、組み合わせ数は\( \displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84 \)となります。


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