微分の考え方：導関数(微分)の公式（線形性）

2020-05-04　

微分の基礎

1 導関数(微分)の基本的な性質について解説していきます！
2 導関数は各項に分離できる事の証明（加法性）
- 2.1 証明
- 2.2 例
3 関数f(x)をa倍したら、導関数もa倍されることの証明（斉次性）
- 3.1 証明
- 3.2 例
4 あとは各関数の導関数に当てはめるだけ！

導関数(微分)の基本的な性質について解説していきます！

前回の記事で、導関数(微分)の考え方を説明しました。今回は実際に導関数を求める時に重要な「導関数の線形性」について解説します。

導関数の線形性とは

公式：導関数は各項に分離できる(加法性)

$$ \large{ (f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x) }$$

と

公式：関数f(x)をa倍したら、導関数もa倍される(斉次性)

$$ \large{ (a \cdot f(x))’ = a \cdot f'(x) }$$

の2つの性質のことです。この2つが成り立つと、色んな関数の微分がすぐに計算できるようになるんですね(後述)

本記事では上記2式の証明をしていきます。ここで用いるのは導関数(微分)の定義式

導関数(微分)の定義

$$ \large{ f'(x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x)}{h} }$$

です。この式に当てはめれば、自然と上記の2式が成り立つことを証明出来ます！それではさっそく解説していきます！

導関数は各項に分離できる事の証明（加法性）

公式：導関数は各項に分離できる

$$ \large{ (f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x) }$$

これは、導関数は各項別々で計算すれば良い、という事を意味しています。
証明は簡単です。

証明

$ (f(x) \pm g(x))’ $
↓導関数の定義に当てはめ
$= \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(f(x+h) \pm g(x+h)) – (f(x) \pm g(x) )}{h}　$
↓f(x)項とg(x)項で分離
$= \displaystyle \CB{\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x)}{h}} \pm \CB{\lim_{ h \to 0 } \frac{g(x+h) – g(x)}{h}} $
↓各項f'(x),g'(x)定義そのまま
$= \CB{f'(x)} \pm \CB{g'(x)} $

定義に合わせて$ (f(x) \pm g(x))’ $の導関数を求める式に当てはめると、綺麗にf(x)とg(x)の2つに分離することができます。

例

$ f(x) = 2x^3 -3x^2 +4x $という関数の微分は、

$ f'(x) $
$= (2x^3 -3x^2 +4x)’ $
$ = (2x^3)’ – (3x^2)’ + (4x)’ $

というように、それぞれの項で分けられるという事なんです！

関数f(x)をa倍したら、導関数もa倍されることの証明（斉次性）

定数aに対して、以下の式が成り立ちます。

公式：関数f(x)をa倍したら、導関数もa倍される

$$ \large{ (a \cdot f(x))’ = a \cdot f'(x) }$$

この証明も、導関数の定義に当てはめれば簡単です。

証明

$ ( a \cdot f(x) )’ $
$= \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{a \cdot f(x+h) – a \cdot f(x)}{h} $
　導関数の定義に当てはめ
$= \displaystyle \CB{a} \cdot (\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x)}{h} ) $
　各項共通の係数aを前だし
$= a \cdot \CB{f'(x)} $
　lim以下はf'(x)の定義そのまま

$ ( a \cdot f(x) )’ $を導関数を求める定義に当てはめると、うまく係数aを前にもってくることが出来ます。分かりやすいですね。

例

$ f(x) = 2x^3 -3x^2 +4x $という関数の微分は、

$ f'(x) $
$= (2x^3)’ – (3x^2)’ + (4x)’ $
$= 2(x^3)’ – 3(x^2)’ + 4(x)’ $

というように変形可能です。微分では係数を前に持ってくることが出来るわけです。

あとは各関数の導関数に当てはめるだけ！

こうなれば、あとは$x^3,x^2,x$等の基本的な関数の導関数を当てはめればOKです。この基本的な関数の導関数は、コチラの記事で解説している通り、

公式：各○次関数の導関数(微分)

$ (x^3)’ = 3x^2 $
$(x^2)’ = 2x $
$(x)’ = 1 $

です。そのため、最終的に$ f(x) = 2x^3 -3x^2 +4x $の導関数は

$ f'(x) = (2x^3 -3x^2 +4x)’ $
$ = \CB{(2x^3)’} – \CB{(3x^2)’} + \CB{(4x)’} $
　項ごとに分離
$= \CB{2}(x^3)’ – \CB{3}(x^2)’ + \CB{4}(x)’ $
　係数前出し
$ = 2 \cdot \CB{3x^2} -3 \cdot \CB{2x} + 4 \cdot \CB{1} $
　上記の導関数の当てはめ
$ = 6x^2 -6x + 4 $

と求める事ができます！

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