基本的な積分の求め方(n次関数)&線形性をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2021-04-23　

積分

前回の記事で、積分の基本的な考え方について説明しました。積分は微分とは逆演算で、「傾き」から元の関数を推定する演算なのです。

今回は簡単な実例を用いて、積分や元の関数の求め方を解説していきます！

基本的な積分の求め方(n次関数)&線形性をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

1 n時間数の積分
2 積分の線形性
3 積分シミュレーター！積分のイメージを理解しよう！
4 まとめ：積分は微分とは逆演算だけど、クセがある＞＜

n時間数の積分

このページでは一番分かりやすい実例として、n次関数の積分について考えてみます。

まず、n次関数の微分については、コチラのページの通り、↓のような公式があります。

n次関数の微分

\( (x^n)’ = nx^{n-1}\)

例をあげると\( (x^3)’ = 3x^2\)であり、\( (x^2)’ = 2x\)ということです。

逆にこのn次関数を積分したい場合はどうすればいいのか、、、というと、実はただ上記の公式に当てはめるだけなんです！上記公式から、逆に考えると

\( \int (n+1)x^{n} dx = x^{n+1} + C(積分定数)\)

が成り立つことがわかります。積分は逆演算なので、こうなるわけです。
ここから、この両辺を(n+1)で割ると、、、

n次関数の積分

\( \int x^{n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C(積分定数)\)

となります。これこそがn次関数の積分公式です！積分の場合は(n+1)で割って、次数を1つ上げればOKなんです！

このように、微分と逆演算して求めた関数を原始関数と呼びます。

f(x)を微分したものを導関数といい、f'(x)という記号で表します。それと逆にf(x)を積分したものは原始関数とよび、F(x)と大文字にして表します。この関係性をまとめると↓の通りです。

積分の線形性

ここで重要な法則があります。積分の線形性です。線形性とは↓のような性質です。

積分の線形性1

\( \int f'(x) + g'(x) dx= F(x) + G(x) + C\)

積分の線形性2

\( \int Af'(x) dx= AF(x) + C\)

これは微分演算で線形性があることからも自明です。原始関数をA倍したら、その微分である導関数もA倍になります。また、項が別れていたら微分は別々に演算できるので、積分でも同様です。

この線形性があるので、例えば

\( f(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + 3 \)

は線形性を使って、↓のように演算できます。

\( \int f(x) dx\)
↓線型性1による分解
\( \displaystyle = \int 2x^3 dx + \int 3x^2 dx + \int x dx + \int 3 dx dx \)
↓線形性2によって、係数を前に出す
\( \displaystyle = 2\int x^3 dx + 3\int x^2 dx + \int x dx + 3\int 1 dx \)
↓公式適応、積分定数付加
\( \displaystyle = 2\frac{1}{4}x^4 + 3\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3x +C \)
\( \displaystyle = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3x +C \)

このように、微分と同じく線形性を用いて別々に演算出来るんです！
　