円順列をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2020-06-18　 順列/組み合わせ

この記事では、前回記事に続いて数学の基礎の「順列(並び順)」について解説していきます。今回は普通の順列ではなく、下図のように円になっている順列のパターンを考えてみます。

普通の順列とは少しパターン数が違いますが、イメージさえ付けば簡単です！

円順列でのパターン数を考えてみよう！

円順列とは上図のように円になっている順列です。普通の順列と違い、円環になっているので注意が必要です。なぜなら普通の順列パターンで並べても、「円を回すことによって同一とみなせるパターン」があるからです。

今、円順列を順列とみなすために↓のように順列を数えていくことにします。1を始点として時計回りに数えていきます。

↑の例の場合は、↓のような順列とみなすとします。

このように考えた時に、個数nで出来る円順列のパターンは順列と同じように思えますが、、、実は違います。

例えば、以下のパターン1とパターン2は円順列の場合同一です。

[パターン1]

[パターン2]

何故なら、パターン1を右に二回まわせば、ちょうどパターン2と一致するからです。円順列の場合は重複パターンがあるため、順列で列挙した数よりもパターンが少なくなるのです！

円順列のパターン数は個数nとして、(n-1)!となる

結論からいうと、円順列のパターン数は個数をnとすると

になります。順列のパターン数は

でしたので、「n倍少ない」ということになります。なぜなら、個数nの円順列はn回まわせ、nパターン重複があるからです！これはシミュレーターで見てみると一瞬で分かります。
　

シミュレーターで円順列の重複パターンを理解しよう！

個数nのときにnパターンの重複があることを理解しやすくするために、円順列シミュレーターを用意しました。

↓個数nを変化させると、自動的にシミュレーターが動きます！色々数を変えて確かめて見ましょう！

シミュレーション結果のまとめ

上記のシミュレーターそのままですが、最後にその結果を確認しておきます。

↓はn=7の例です。この図の通り、7パターンの重複があります。列挙された全パターンが同一と見なされるため、1パターンとしかカウントされないわけです。

なので、この円順列の総パターン数は結局、\( \frac{7!}{7}= 6!\)となるのです！

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