難しい「余弦定理」をシミュレーターを使って理解しよう！[数学入門]

2020-12-16　

三角関数sin/cos/tan,幾何学・図形

1 難しい余弦定理について解説します！
- 1.1 三平方の定理が使える条件
- 1.2 直角三角形以外の場合はどうする？
2 余弦定理の証明
3 余弦定理は三平方の定理を包含している
4 3辺の長さが分かっている時は、cosθ,θを求めることが出来る！
5 余弦定理をシミュレーターで理解しよう！
- 5.1 1)2辺とそのなす角度θからもう一辺を求めるシミュレーター
- 5.2 2)3辺から角度θを求めるシミュレーター
6 まとめ：余弦定理は三平方の定理の拡張版。どんな三角形でも残りの一辺や角度が求められる！

難しい余弦定理について解説します！

今回は余弦定理についてシミュレーターを使って解説します。余弦定理は三平方の定理を一般三角形に拡張したバージョンです。余弦定理になるとやや複雑です。

ただ、考え方は一緒。余弦定理をマスターすれば、色んな場面で三角形の辺の長さを求めたり、なす角θを求めたり出来るようになります！
難しい「余弦定理」をシミュレーターを使って理解しよう！[数学入門]

三平方の定理が使える条件

三平方の定理では、↓のような直角三角形において、二辺(例えば底辺と縦辺) から、もう一辺(斜辺)を求めることができました。（詳しくはコチラのページ参照）。さらにそこから各角度も計算することが出来ました。

三平方の定理

直角三角形の斜辺cとその他二辺a,b(↓のような直角三角形)において、以下の式が必ず成り立つ
\( \displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \)

しかし、この三平方の定理が使える↑のような「直角三角形」のときだけです。

直角三角形以外の場合はどうする？

それでは「直角三角形以外」の場合はどうやって求めればいいでしょうか？その悩みに答えるのが余弦定理です。

余弦定理

a,b,cが3辺の三角形において、aとbがなす角がθのような三角（↓図のような三角）がある時、↓の式が常に成り立つ
\( \displaystyle c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cdot cosθ \)

三平方の定理は直角三角形の時にだけ使えましたが、この余弦定理は一般的な普通の三角形でも成り立つ公式です。この式を使えば、aとbとそのなす角θがわかれば、残りの辺cの長さも計算出来てしまうわけです！

やや複雑ですが、直角三角形以外にも適応できるので色んなときに活用できます！
　

POINT直角三角形の時は三平方の定理、それ以外の場合は余弦定理を使う！

余弦定理の証明

それでは、上記の余弦定理を証明していきます。基本的に考え方は「普通の三角形を、計算可能な直角三角形に分解する」です。

今回↓のような一般的な三角形を考えていきます。もちろん、角は直角ではありません。

これを↓のように２つに分割して直角三角形を2つ作ります。こうする事で、三平方の定理やcos/sinの変換が、使えるようになり各辺が計算可能になるんです！

すると、コチラのページで解説している通り、直角三角形定義から↓のように各辺が求められます。これで右側の三角形は全ての辺の長さが求まりました。

あとは左側三角形の底辺だけ。ココは↓のように底辺同士の差分を計算すればよく、ピンクの右側三角形の底辺は、(a – b*cosθ)である事がわかります。

ここで↑の図のピンクの三角形に着目します。すると、三平方の定理から

\( c^2 = (b*sinθ)^2 + (a – b*cosθ)^2 \)

が成り立つといえます。この式を解いていくと、、、

\( c^2 = (b*sinθ)^2 + (a – b*cosθ)^2 \)
↓分解
\( c^2 = b^2 sinθ^2 + a^2 – 2ab cosθ + b^2 cosθ^2 \)
↓整理
\( c^2 = a^2 + b^2 (sinθ^2 + cosθ^2) – 2ab cosθ \)
↓ 定理\(sinθ^2 + cosθ^2 = 1\)を代入
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot cosθ \)

となり、余弦定理が証明できたワケです！うまく直角三角形に分解して、三平方の定理を使って公式を導いているわけですね！