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物理入門:「水平投射」をシミュレーターで理解しよう!

$$\newcommand\CB[1]{\textcolor{blue}{#1}} \newcommand\CR[1]{\textcolor{red}{#1}} \newcommand\CG[1]{\textcolor{magenta}{#1}}$$

「水平投射」運動をシミュレーターで確かめてみよう!

前回までの記事で解説した等加速度運動の例として、「水平投射」をシミュレーターで動かしてみましょう!
 
地球にあるものには重力加速度g=9.8m/s^2が下方向に働いています。この重力により、ボールがどのような速度で落ちていくか、シミュレーターを用いて確認してみましょう!

水平投射シミュレーター

「実行」ボタンを押すと、初速x(\(v_0\))で、ボールが投げ出されます。

↓のスライドバーで投げ出す位置(初期y)と初速xを自由に変えられます。色々な高さから水平投射させて、実験してみましょう。

同時に↓のx,yそれぞれの位置/速度/加速度をリアルタイムでグラフ化しているので、各項目がどのように変化するか確認してみましょう!

初期y
100
初速x
20

経過時間 : 0.0
飛距離 : 0.0 m


グラフ表示項目位置  速度  加速度 
 xを赤色,yを赤色で示しています

再生速度
1.0

↑このバーで再生の速度変更・一時停止ができます

シミュレーター結果解説

以下、シミュレーターの結果を解説していきます。基本的に、落下運動は加速度運動ですので公式に当てはめれば速度/位置等が求められます。

この時のコツはx方向(横)とy方向(縦)成分に完全に分けて計算するということです。

解説には↓の記号を使って説明します。

\(y: 高さ(y=0が地面)\)
\(x: 横方向位置\)
\(y_0: 初期y\)
\(v_y: y方向の速度\)
\(v_x: y方向の速度\)
\(v_0: x方向への初速\)
(\g: 重力加速度(9.8m/s^2\))
\(t: 経過時間(秒)\)

速度の変化

x方向とy方向で分けて考えます。

y方向の速度

下方向の速度は、等加速度運動なので↓のように時間に比例して大きくなっていきます。加速度は重力加速度-gになります。

等加速度運動の速度

\(v_y \displaystyle= -gt \)

x方向の速度

x方向には何も力がかかりません。ですので、x方向は↓のように初速から変わらず、等速運動していきます。現実的には、永遠に速度が変わらないなんてなさそうですが、空気抵抗・摩擦がなければこのようになります。

等速運動

\(v_x \displaystyle= v_0 \)

↓x方向を赤字、y方向を青字で示した速度変化です。y方向は直線的に大きくなっていきますが、x方向は一定の速度になります。

位置の変化

y方向の位置

水平投射時の位置は、等加速度の位置公式から↓のように求められます。

等速運動時の位置

\(y \displaystyle= y_0 – \frac{1}{2}gt^2 \)

つまり、水平投射ではボールの位置は↓のように二次関数状に変化します。

x方向の位置

x方向は等速運動なので、↓のようになります。簡単ですね。

等速運動

\(x \displaystyle= v_0 t \)

↓結果的に、x方向とy方向は↓のような変化になります。xは直線的に増加していき、yは二次曲線のように0に向かっていきます。

地面到達時間

地面到達時間は↑の式にy=0を代入すれば簡単に求められます。これは自由落下運動と同様です。

\( 0 \displaystyle= y_0 – \frac{1}{2}gt^2 \)
\( t \displaystyle= \sqrt{\frac{2y_0}{g}} \)

つまり、ボールを投げおろす\(y_0\)に対して、落ちるまでにかかる時間tはそのルートに比例して大きくなるわけです
(高さが4倍になっても、かかる時間は2倍)

到達位置(x方向)

x方向の到達位置を求めるのは簡単です。地面への到達時間は↑のように求まっているので、これを\(x= vt\)の式に代入すればいいだけです。

到達位置

\(x \displaystyle = v_0 t \)
\( \displaystyle = v_0 \sqrt{\frac{2y_0}{g}} \)

シミュレーターで高さや初速を変えて実験してみて、このような到達位置になることを確かめてみて下さい!
 

[関連記事] 物理入門: 重力・落下シミュレーター
4.水平投射(本記事)


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