モンテカルロ法「円周率」計算シミュレーター！円周率に少しずつ近づく様子を観察してみよう！

2022-03-12　

統計学/確率

今回は、統計的/数値計算的な手法を用いて、円周率を求めるモンテカルロ法をシミュレーターで表現してみました！簡単な計算で、円周率を細かく計算していく様を観察してみましょう！

モンテカルロ法「円周率」計算シミュレーター！円周率に少しずつ近づく様子を観察してみよう！

1 円周率計算の手法
- 1.1 理論上の計算
- 1.2 実際の測定　モンテカルロ法
2 モンテカルロ法「円周率」計算シミュレーター！
3 シミュレーター結果考察

円周率計算の手法

円周率は↓のようにして求められます。

理論上の計算

円周率を求める計算「モンテカルロ法」はシンプルです。

↓のような「正方形」と、「それに内接する円」の面積を考えてみます！

円の半径をrとすると、↓のようになります

正方形の面積

辺の長さ×辺の長さ =\((2r)^2\) =\( 4r^2 \)

円の面積

半径×半径×\(\pi\) = \(r^2 \pi\)

故に、「円の面積÷正方形の面積」を考えると、↓のようになります。

円の面積÷正方形の面積

円の面積÷正方形の面積 = \( \displaystyle \frac{r^2 \pi}{4r^2}\)
= \( \displaystyle \frac{\pi}{4}\)

つまり、「円の面積÷正方形の面積」は円周率の1/4倍になるんです！

実際の測定　モンテカルロ法

それではどのように、「円の面積÷正方形の面積」を求めていけばよいでしょうか。その一つの手法が↓のモンテカルロ法です。この方法は「ボールを投げて、統計的に集計して近似する」手法をとります。

モンテカルロ法による円周率の推定

1)正方形の面積にボールをランダムに投げてる
2)中心から半径rの範囲に入っているボールを計測する
3)「　2の半径rに入った数 ÷ 1のボールを投げた総数　」を計算する
　⇒ 3の数を4倍すると、円周率\(\pi\)になるはず！

つまり、適当に正方形内にボールを投げて、円に入った数を測定すれば円周率を推定できるんです！
実際にこの方法で確かめてみましょう！