「平方根/ルート」の性質を理解しよう！[数学入門]

2022-02-26　

今回は、数学の基礎の「平方根/ルート」のイメージを解説しました。

今回はもう少し詳しく「平方根/ルート」解説していきます！

おさらい：「平方根/ルート」の定義

平方根の定義は↓のようになります。

ある数xを2乗したらaとなる場合、xをaの平方根と言い、↓の記号で表す
\( x = \sqrt{a} \)

つまり、2回かけたらaになるようなxを見つけるものを平方根/ルートと言います！

例をあげると、↓のようになります。4は2を2回かけるとつくれますし、9は3を2回かけるとつくれます。
しかし、2は整数をかけても作れません。\sqrt{2}は↓のように細かい小数になるわけです。

\( \sqrt{1} = 1\)
\( \sqrt{4} = 2\)
\( \sqrt{9} = 3\)
\( \sqrt{2} = 1.41421356237…\)

前回は簡単なイメージのために、xがプラスの場合だけ考えましたが、平方根はマイナスもあるんです！

マイナス値を二乗すると、正の数と同じ値になります。

\( (-1)^2 = 1\)
\( (-2)^2 = 2\)
\( (-3)^2 = 9\)

そのため、正確にいうと↓のように平方根は2つあるんです。

1の平方根 = 1と-1
4の平方根 = 2と-2
4の平方根 = 3と-3

ただし、ルートはこの二つの中で、正の数の方を求めるというルールになってます。 \( \sqrt{4} = 2\)と定まるんです。

↑の考えを用いると、\(x^2 = a\)の式は↓のように求められます。

\( x^2 = a \)
\( x = \pm \sqrt{a} \)

注意点としては、↑の通り平方根にはプラスとマイナス両方あるので、解は二つあるという事になります。また↓の注意も必要です

例えば、-4の平方根を考えてみます。しかし、どのような数をもってきても、2乗するとマイナスになる実数はありません。そのため、↓のようにマイナス値のルートは解無しになります。

\( \sqrt{マイナス値} = 解無し \)

なので、↓の計算は厳密にいうと「aが0以上の時のみ解がとれる」という事になります。

\( x^2 = a \)
\( x = \pm \sqrt{a} \) * aが0以上の時のみ解有り

少し難しい話ですが、指数を使って言うとルートは指数\(\large{\frac{1}{2}}\)という事になります。二回乗算すると\(a^{1}\)になるためです。

\( \large{\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}} \)

\( \large{\sqrt{a×b} = \sqrt{a}×\sqrt{b} } \)
\( \Large{\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} } \)

前回のシミュレーターでイメージはついていると思いますが、「平方根/ルート」のグラフを見てみましょう。

これは↓関数のグラフです。xが増えるほど、yが増加しにくくなっているのがわかりますよね。

表示関数

\( y = \sqrt(x) \)

まとめ

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2．「平方根/ルート」の性質(本記事)