組み合わせ(C記号)をシミュレーターで理解しよう！[数学入門]

2021-02-28　 順列/組み合わせ

この記事では、順列の発展型である「組み合わせ」という考えか方を説明していきます。前回記事では、「n個のクジから、r個を引く順列パターン」について解説しました。

今回は「n個のクジから、r個を引く組み合わせのパターン」について考えていきます。似ていますが、この違いは大きいです。
　
この違いをシミュレーターを用いて解説していきます！

「n個のクジから、r個引く順列パターン」と「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」の違いを理解しよう！

n個のクジから、r個引く順列パターン

まずは、前回記事で説明した「n個のクジから、r個を引く順列パターン」をおさらいしておきます。

下図は「9個のクジから、3個を引く順列パターン」の例です。3個引くものを順列と見なし、総計何パターンあるかを考えたのが前回でした。順列とみなすので、「引いた順序を区別する」という点が重要です。

そしてその総数は、

であることを前回記事で示しました。

n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)

上記のパターンに対して、今回考えるのが「「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」」です。似ていますが、違います。「r個選ぶ」なので引いたものの順番は関係ないんです。

例として、「7,2,3」という組み合わせを考えます。そうしたときに下図の6パターンは全て同一と見なせます。順番が違うだけで、結局「2と3と7を選ぶ」という点では全て同じになるからです！

「順列」と「組み合わせ」の違いは、順番を区別するかどうか

上記のように考えると、その違いは簡単です。「n個のクジから、r個引く順列パターン」は順列を考えるため、引いたクジの順番も重要であり区別します。それに対して「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」は順番は関係なく、最終的に何を引いたかのみ着目します。
　
例えば↓の例の場合、

となります！これが「順序」と「組み合わせ」の違いです。

↓まとめると、こんな関係性になります。

「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」のパターン数を考える！

「n個のクジから、r個選ぶパターン(組み合わせ)」のパターン数を考えてみます。

前回記事の通り、順列と見なした場合は

パターンありました。これに対して、今回考える組み合わせ数は

で表せます。この組み合わせパターン数を数学では\({}_n C_r\)と表します。

この理由は、「組み合わせの場合は、選んだ個数rで作られる順列パターン数r!だけ重複する」からです。例えば、r＝3の場合、先程からの例のように↓ 3!=6パターン重複します。ですので、順番を考慮したパターン数\( {}_n P_r \)を3!で割ると、求めたい組み合わせ数になるわけです。

選んだ個数がrであるので、その順列パターン数であるr！で割る。これが「順列\({}_n P_r\)」と「組み合わせ\({}_n C_r\)」の違いです！ややこしいですが、キチンと区別して理解しましょう！

シミュレーターで「順列」と「組み合わせ」の違い、重複度を理解しよう！

おさらいとして、総数(n)から個数(r)のクジを引くシミュレーターをつくってみました！さらに引いた後に、引いた順列に対して重複する順列パターンを列挙するようになっています。その重複数が、r!になることを確認しましょう！
　
列挙された数列は、順列では別々に数えられますが、組み合わせでは同一とみなされます。選んだ個数rが大きいほど、重複する数が多くなり、「順列」と「組み合わせ」の差が大きくなることを理解しましょう！

値を変更して実行してみましょう！

結果の解説：総数n=9,引くクジ数r=3の場合

↓総数n=9,引く数r=3の場合の結果です。↓の通り3!=6だけ重複したパターンがあります。そのため結局、組み合わせ数は\(　\displaystyle \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84 \)となります。

[関連記事] 数学入門：順列、組み合わせ

1．順列とは、階乗

2．順列(P記号)

3．円順列

4．組み合わせ数(C記号)(本記事)

5．グループ分け(組み合わせの発展)

6．最短経路選択問題(組み合わせの応用)