漸化式をシミュレーションで理解！[数学入門]

2021-02-24　 数列

前回まで、等差数列と等比数列の例を用いて、数列とはなにかを説明してきました。今回はその数列の法則を示すための手段としての「漸化式」について説明します！
　
漸化式を使うと、より複雑な関係を持つ数列を表すことが出来るんです！

漸化式とは「数列の隣同士の関係を式で表したもの」

では「漸化式」とは何かを説明します。まず、漸化式の例を示します。

これが漸化式です。この数式の意味は「n+1番目の数列は、n番目の数列を2倍して3引いたものだよ」という意味です。n+1番目の項とn番目の項の関係を表しているわけです。このような「数列の隣同士の関係を式で表したもの」を漸化式と言います。
　
この漸化式、非常に強力です。何故なら、初項\(a_1\)さえ分かれば、数列全てを計算できるからです。上記漸化式が成り立つとして、初項が

の時を考えます。この時、漸化式にn=1を代入してみると

という式が出来上がります。これに\( a_{1} = 2 \)を代入すると、

となります。後は同じ要領で、

漸化式シミュレーター！数値を入れて漸化式の計算過程を確認してみよう！

上記のような便利な漸化式、実際に数値を色々変えて見て、その計算過程を確認してみましょう！今回は例題として、

という漸化式を使います。↓でa1(初項)やb,cのパラメタを変更すると、シミュレーターが\(a_1\)から計算を始め、その値を使って\(a_2,a_3,a_4\)と計算していきます。色々パラメタを変えて実験してみて下さい！

典型的な漸化式のパターン

上記のシミュレーターのように色んな数式がこの漸化式で表現できます。
そんな中でも、特徴的な一部のパターンについて解説しておきます。

等差数列パターン(b=1)

1つ目がこの「等差数列」パターンですね。実は、上記のシミュレーターでいうb=1の場合、つまり

という式の形式になっている場合は「等差数列」になっています。何故なら、毎回「+c」だけするため、各数列の項の差は等しくなるのです。そしてこのcが交差となるわけです。

↓\( a_{n+1} = a_{n} -3 \)の例。等差数列になっているのがわかるかと思います

等比数列パターン(c=0)

上記とは逆にc=0の場合、つまり

という式の形式になっている場合は「等比数列」になっています。何故なら、毎回「b」乗算するだけのため、各数列の項の比は等しくなるのです。そしてこのbが公比となるわけです。

↓\( a_{n+1} = 2 \cdot a_{n} \)の例。公比数列になっているのがわかるかと

他にも複雑な漸化式のパターンがあります！

上のシミュレーターで用いた\( a_{n+1} = \displaystyle b \cdot a_{n} +c \)は簡単な例として今回扱いましたが、もっと複雑な漸化式もあります。例えば

といった、演算の中にnが出てくる漸化式等があります。これは少しだけ解を得るのが複雑になります。

また、別のタイプの複雑な漸化式として「1つ前だけでなく、2つ前の数列項の値も計算に必要になるもの」があります。例えば、

といったものです。これはn+2の数列項を求めるのに、n+1とnの数列項が必要になるものです。前回の数列計算結果だけでなく、前々回の結果も必要になるわけです。
この場合、漸化式と合わせて初項\(a_1\)だけでなく、2項目\(a_2\)も計算に必要になります。何故なら、

となるため、\(a_1\)だけでは\(a_3\)が計算できないからです。
　
このような複雑な漸化式もあります。こういったものは後に別記事で解説していく予定です！(._.)
　

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