微分とは何か？「接線」と「その傾き」で定義を理解しよう！[数学入門]

2021-04-22　

本記事から高校数学で一番重要と言える「微分」の考え方について説明します。微分は非常に分かりにくいものというイメージがあるかもしれませんが、その根本の意味を理解すれば、そこまで難しいものでは有りません。
　
ただ公式を覚えるだけでなく、その意味やイメージを理解することがすごく重要なんです！
微分とは何か？「接線」と「その傾き」で定義を理解しよう！[数学入門]

1 微分の前に「平均変化率」「傾き」を理解しよう！
2 微分＝「各点での接線の傾きを求める」
- 2.1 x1での接線を求めるシミュレーター
3 微分(導関数)の定義

微分の前に「平均変化率」「傾き」を理解しよう！

平均変化率の考え方

まず微分の説明の前に、「平均変化率」「傾き」について説明します。数学では「平均変化率」という考え方があります。これは「xが1増えた時にyはどれだけ増加するか」を表す値です。例えば、(x1,y1)から(x2,y2)に移動するときのへ平均変化率は以下のように求められます。

定義：平均変化率

$$ \large{ \frac{(y2-y1)}{(x2-x1)} }$$

これは「yの差分」を「xの差分」で割った値です。これにより、xが1動いた時のyの変化度を求められるわけです。例えば(1,1)と(3,5)の平均変化率は↓になります。

$ \displaystyle \frac{(y2-y1)}{(x2-x1)} = \frac{(5-1)}{(3-1)} = \frac{4}{2} =2 $

xが1動くと、yが2動くわけですね。

関数上の平均変化率

上の平均変化率の考えを関数上の値で考えます。関数上のyはy=f(x)で表せるため、平均変化率は以下のように表せます。

関数上の平均変化率

$$ \large{ \frac{(f(x2)-f(x1))}{(x2-x1)} }$$

x1,x2という適当な2点を選べば、平均変化率を求める事が出来るわけです。

実際に関数上の2点の平均変化率を調べてみよう！

上記の考えの理解を深めるため、適当な三次関数上で2点の変化率が計算できるシミュレーターを作ってみました！
↓のx1,x2を変化させると、自動的に平均変化率を求めます。さらにグラフ上にその2点を結ぶ線を描画します。色々値を変えてみて下さい！

[平均変化率]
$ {\displaystyle \frac{(f(x2)-f(x1))}{(x2-x1) } =} $ ((+ 1) – (+ 1))÷((+ 1) – (+ 1))= + 1

上の2点を結ぶ線を$y=ax+b$とすると、そのaは平均変化率そのものです。このa=平均変化率をこの線の「傾き」といいます。この「線の傾き」を微分では求めていくんです！

微分＝「各点での接線の傾きを求める」

上で説明した「平均変化率」「傾き」を使って、以下のように微分の定義をすることが出来ます。

定義：微分

関数f(x)の、各点での接線の傾きを表す関数f'(x)を求めること

そして接線の定義は以下の通りです。

定義：接線

x1近くでの関数上の平均変化率の直線、平均変化率の定義のx2をx1に限りなく近づけた時にできる線

平均変化率はx1,x2の2点が定義に必要ですが、究極的にx2を限りなくx1に近づけて、x1付近での平均変化率を計算しようとするのがこの「接線」という考え方です。例えば、x1=1,x2=3だった場合にx2を3→1に限りなく近づいて行った時に出来る線が接線であり、その平均変化率が「接線の傾き」です。分かりにくいので、↓のシミュレーターを用意してみました！