物理入門：「鉛直投げ下げ」をシミュレーターで理解しよう！
2021-04-09 
前回までの記事で解説した等加速度運動の例として、「鉛直投げ下げ運動」をシミュレーターで動かしてみましょう！
地球にあるものには重力加速度g=9.8m/s^2が下方向に働いています。この重力により、ボールがどのような速度で落ちていくか、シミュレーターを用いて確認してみましょう！
鉛直投げ下げ運動 シミュレーター
早速シミュレーターで実験してみましょう！
- 実行ボタンを押すと、設定した初期yと初速に従ってボールが下に投げられます
- スライドバーで初期y,初速yを自由に変えられます
- グラフ表示項目を選択すると、x,yそれぞれの位置/速度/加速度をリアルタイムにグラフ化して表示します
色々な高さや速度で投げ下げてみて、実験してみましょう！
グラフ表示項目位置
速度
加速度
xを赤色,yを赤色で示しています
シミュレーター結果解説
以下、シミュレーターの結果を解説していきます。基本的に、落下運動は加速度運動ですので公式に当てはめれば速度/位置等が求められます。
速度の変化
鉛直投げ下げは等加速度運動なので↓のように時間に比例して速度は大きくなっていきます。加速度は重力加速度-gになります。
重力は高さyとは逆方向にかかるので、-gの加速度になることに注意して下さい。
\(v \displaystyle= -v_0 -gt \)
- \(v_0\) : 初期速度[\(m/s\)]
- \(t\) : 時間[\(s\)]
- \(g\) : 重力加速度[\(m/s^2\)]
初速が\(-v_0\)なので、最初から速い速度で下に向かっていきます。
位置の変化
鉛直投げ下げ時の位置は、等加速度の位置公式から↓のように求められます。
\(y \displaystyle= y_0 – v_0t – \frac{1}{2}gt^2 \)
- \(y_0\) : 初期位置[\(m\)]
- \(v_0\) : 初期速度[\(m/s\)]
- \(t\) : 時間[\(s\)]
- \(g\) : 重力加速度[\(m/s^2\)]
つまり、鉛直投げ下げ運動ではボールの位置は↓のように二次関数状に変化するんですね。ただし自由落下よりも急な速度で落ちていくことになります。
地面到達時間
地面到達時間は↑の式にy=0を代入すれば求められます。
\( gt^2 +2 v_0 t – y_0 = 0 \)
↓二次関数の解の公式
\( t \displaystyle= \frac{ -2v_0 + \sqrt{4 v_0^2 + 8 g y_0}}{2g} \)
少し複雑ですが、ボールを投げおろす位置\(y_0\)に対して、落ちるまでにかかる時間tはそのルートに比例して大きくなるわけです。
このように式を解くことで、どの要素がどれぐらい落ちるまでの時間に影響を与えるかが計算できるわけです！
- 鉛直投げ下げは、鉛直投げ上げ運動の逆バージョン
- 鉛直方向の速度は常にマイナス（下向き）となる
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